四等分点

数学星空

1.  在三角形中是否总能找到一点$J$，过$J$点作两条互相垂直的直线$L_1,L_2$将三角形面积四等分？（三角形边长可设为$a,b,c$）
进一步当两条直线$L_1$与$L_2$的夹角为$alpha$时，若存在四等分三角形的$J$点，请找出$alpha$应满足的条件？
2.  对于凸四边形若存在四等分四边形的$J$点，请找出$alpha$应满足的条件？（四边长可设为$a,b,c,d$）

注：对于$alpha$我们总取$L_1$与$L_2$之间较小的那个角，即$0<alpha<=pi/2$

nnd

1.  在三角形中是否总能找到一点J，过J点作两条互相垂直的直线L1,L2将三角形面积四等分？
这个可以证明肯定是存在的。

用两根直线旋转，必定在某个时候垂直的思路是可以证明的。

云梦

我转了半天都转晕了。

nnd

两根直线旋转,确实容易晕。我自己都被转晕了。
可以用一根直线旋转，然后让他的垂线滑动。

等腰三角形是好解决的，如上图，假设 ∠A<∠B<∠C,AD是三角形的中线。EF是AD的垂线且S1=(1/4)S,其中S为三角形的面积.显然由∠B<∠C有S1<S2。

将AD顺时针旋转，满足AD将三角形二等分，设旋转后为A'D',A'D'的垂线E'F'满足S1'=(1/4)S，

当A'D'旋转至平行于AB时，不难证明S1'>S2'.

证毕.

数学星空

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对于等腰三角形，我们很容易算出J点，$x=(1-1/sqrt(2))*h_a=(1-1/sqrt(2))*(2*S)/a$
对于其它三角形($a>b>c$），我们可以得到方程
$((b-x)*w*sin(A))/2=S/2$...........................(1)
$((b-y)*z*sin(C))/2=S/2$...........................(2)
$w^2+y^2-2*w*y*cos(A)+x^2+z^2-2*x*z*cos(C)=(b-x-y)^2+(c-w)^2+(a-z)^2-2*(c-w)*(a-z)*cos(B)$ ...........................(3)
$(x_1*x_2)/2=S/4$...........................(4)
$x_1^2+x_2^2=(b-x-y)^2$...........................(5)
$(sqrt(w^2+(b-x)^2-2*w*(b-x)*cos(A))-x_2)^2+x_1^2=w^2+y^2-2*w*y*cos(A)$ ...........................(6)
由以上六个方程可以得到：$x,y,z,w$进而得到$J$的位置。
注：$S$为三角形$ABC$ 的面积，$x_1=GJ,x_2=JE,x=EC,y=AG,z=FC,w=AD$

hujunhua

对平面直角坐标系内的任意卵形线，总可以通过旋转和平移卵形线，使得坐标轴四等分卵形线所围的面积。

1. 对于一个给定的卵形线G和给定的直线方向 t，在 t 方向存在唯一的一条直线平分G所围成的面积.
2. 如图，对平面直角坐标系XOY内的任意卵形线G，存在唯一的平移变换m,使得m(G)被坐标轴所分的四个象限的面积，成立S1=S3, S2=S4。

3. 将一条射线 t 固定在卵形线上作为卵形线的方向， 就设 t 的方向角为 t(0≤t<2π)。那么S1(或S3), S2( 或S4)都是 t 的函数，记为S1(t), S2(t).
4. 易知S1(t)和S2(t) 都是连续函数，并且S1(t+π/2)=S2(t). 因此至少存在一个角度α∈[0,π/2), 使得S1(α)=S2(α).

nnd

7# hujunhua


看得有点云里雾里。

前面三条没问题。第四条没看明白。怎样保证S1=S2的同时，满足S1=S3呢？

我知道你功力深厚，清明节回湖北，洒家请你吃酒如何？

hujunhua

云里雾里？7#的表述确实有点偷懒，其中第4条所选的参照系也不够直观，将参照系对换一下更为浅显。

图1，卵形线G被一个X轴处于水平位置、正向朝东的直角坐标架XOY分成面积对角相等的四部分；此时O点位置为O(0).

图2，坐标架旋转角度  t 并适当平移，以保持对角面积相等，即S1(t)=S3(t), S2(t)=S4(t);  当 t 递增时，即坐标架连续旋转时，为保持面积对角相等，原点O必须同时适当平移，所以O会画出一条轨迹O(t)。

图3，当坐标架旋转角度t=π/2时，为保持面积对角相等，O点将回到O(0)的位置，即O(π/2)=O(0). 这时坐标架十字与t=0时的位置重合，故S1(π/2)=S2(0), S2(π/2)=S3(0)=S1(0), S3(π/2)=S4(0)=S2(0), S4(π/2)=S1(0).

所以S1(t),  S2(t)  的曲线如图4所示，可见两曲线至少有一个交点(α，s/4).

hujunhua

如果不限制t的范围，S1(t)和S2 (t)都是周期为π的周期函数，两者形状相同，只不过存在一个π/2 的相位差。
S3(t)与S1(t)重合，S4(t)与S2(t)重合。