四等分点

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树上结满了果实，地上开满了鲜花，却无路可去，这说明什么？说明你可能到了新大陆。

数学星空

不失一般性：我们设三边长$a_1>b_1>c_1>0$, ABC三个顶点的坐标分别为：$A(0,a),B(-b,0),C(c,0)$,设相互垂直的线$L_1,L_2$四等分三角形ABC的面积，且$L_1$交$L_2$于点$O$,设$L_1$的斜率为k,    O的坐标为$(x0,y0)$
1.若$L_1,L_2$均与AC线段相交，其两个交点在AC线段内。
$(-3*a^2*b*c-a^2*c^2+8*a^2*c*x0-4*a^2*x0^2+8*a*b*c*y0-4*b*c*y0^2)*k^2+(-3*a^3*b+3*a^3*c+8*a^2*b*y0-8*a^2*c*y0+8*a^2*x0*y0-a*b^2*c+a*b*c^2-8*a*b*c*x0+4*a*b*x0^2-4*a*b*y0^2+4*a*c*x0^2+4*a*c*y0^2)*k-a^2*b^2-$$3*a^2*b*c+4*a^2*x0^2+8*a*b*c*y0-8*a*b*x0*y0-4*b*c*y0^2=0$

$ (a^2*b-a^2*c+4*b*y0^2)*k^2+(-5*a*b^2+a*b*c+8*a*b*x0-4*a*x0^2-4*a*y0^2)*k+4*b*y0^2=0$

$(a^2*b-a^2*c+8*a*c*y0-8*a*x0*y0-4*c*y0^2)*k^2+(-a*b*c-3*a*c^2+8*a*c*x0-4*a*x0^2+4*a*y0^2)*k-4*c*y0^2=0$

$(a^2*b*c+3*a^2*c^2-8*a^2*c*x0+4*a^2*x0^2-8*a*c^2*y0+8*a*c*x0*y0+4*c^2*y0^2)*k^2+(a^3*b-a^3*c-a*b*c^2+a*c^3)*k-a^2*b*c+5*a^2*c^2-8*a^2*c*x0+4*a^2*x0^2-8*a*c^2*y0+8*a*c*x0*y0+4*c^2*y0^2=0$

则可以计算出$x0,y0,k$, 即可以求出两条线$L_1,L_2$


2.若$L_1,L_2$均与BC线段相交，其两个交点在BC线段内。
$(-3*a^2*b*c-a^2*c^2+8*a^2*c*x0-4*a^2*x0^2+8*a*b*c*y0-4*b*c*y0^2)*k^2+(-3*a^3*b+3*a^3*c+8*a^2*b*y0-8*a^2*c*y0+8*a^2*x0*y0-a*b^2*c+a*b*c^2-8*a*b*c*x0+4*a*b*x0^2-4*a*b*y0^2+$
$4*a*c*x0^2+4*a*c*y0^2)*k-a^2*b^2-3*a^2*b*c+4*a^2*x0^2+8*a*b*c*y0-8*a*b*x0*y0-4*b*c*y0^2=0$

$(a^2*b-a^2*c+4*b*y0^2)*k^2+(-5*a*b^2+a*b*c+8*a*b*x0-4*a*x0^2-4*a*y0^2)*k+4*b*y0^2=0$

$-4*c*k^2*y0^2+(a*b*c+3*a*c^2-8*a*c*x0+4*a*x0^2-4*a*y0^2)*k+a^2*b-a^2*c+8*a*c*y0-8*a*x0*y0-4*c*y0^2=0$

$4*k^2*y0^2+(a*b-a*c)*k+4*y0^2=0$

则可以计算出$x0,y0,k$, 即可以求出两条线$L_1,L_2$

奇怪的是：上面的两种情形均是四个方程求三个未知数{$x0,y0,k$}好像都无解。

例如：取$a = 4, b = -1, c = 6$
1.
$(-64*x0^2+24*y0^2+768*x0-192*y0-288)*k^2+(80*x0^2+128*x0*y0+112*y0^2+192*x0-896*y0+1176)*k+272+64*x0^2-192*y0+32*x0*y0+24*y0^2=0$

$(-4*y0^2-112)*k^2+(-16*x0^2-16*y0^2-32*x0-44)*k-4*y0^2=0$

$ (-32*x0*y0-24*y0^2+192*y0-112)*k^2+(-16*x0^2+16*y0^2+192*x0-408)*k-24*y0^2=0$

$(64*x0^2+192*x0*y0+144*y0^2-768*x0-1152*y0+1632)*k^2+560*k+2976-768*x0+64*x0^2-1152*y0+192*x0*y0+144*y0^2=0$

2.
  $(-64*x0^2+24*y0^2+768*x0-192*y0-288)*k^2+(80*x0^2+128*x0*y0+112*y0^2+192*x0-896*y0+1176)*k+272+64*x0^2-192*y0+32*x0*y0+24*y0^2=0$

  $(-4*y0^2-112)*k^2+(-16*x0^2-16*y0^2-32*x0-44)*k-4*y0^2=0$

  $-24*k^2*y0^2+(16*x0^2-16*y0^2-192*x0+408)*k-112+192*y0-32*x0*y0-24*y0^2=0$

  $ 4*k^2*y0^2+4*y0^2-28*k=0$
均未找到合适的解

有谁能求出$A(0,4),B(-1,0),C(6,0)$时满足题意的$x0,y0,k$值并画出图形？
注：可设$L_1: y=y0+k*(x-x0)$,  $L_2: y=y0-(x-x0)/k$

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