硬币投掷 想要出10次正面 平均需要投掷20次 这句话错了吗？

kastin

jjkkt 发表于 2014-11-3 11:27
你的意思是 期望真包含于平均
那我用平均来替代所有期望的场合是没问题的

本质上，期望是概率关于随机变量的一阶中心矩（“中心”的意思是，关于原点的矩）。在随机变量是连续变量的情形中，期望就是一种概率密度关于随机变量的内积 `EX=<x,f>`，这是一种“加权平均”。因此用术语“平均”指代期望，如果不严格要求，这样做是可行的。

但严格来说，这种说法是不严谨的。因为，正如@wayne 所说，平均并不等价于期望（频率只是对概率的一种粗糙估计，根据大数定律，平均数依收敛到期望，这个过程是需要样本容量`n`取无穷大极限的）。圣彼得堡悖论就是一个很有名的例子，这个例子是著名数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄，尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli）在1738的一篇论文中提出的，它来自于一种掷币游戏，具体内容是这样的：

设定掷出硬币的正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第n次投掷成功，得奖金2^n ，游戏结束。  问：应先付多少钱才能使游戏公平？

按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值 `2^n` 乘以出现该结果的概率`\D(\frac{1}{2})^n`便得到获得该奖值的期望 `1`，整个游戏的期望值即为所有可能得奖期望值之和。显然，随着`n`的增大，游戏的期望值将为“无穷大”（`1+1+1+\cdots`）。按照概率理论，多次试验结果将会接近其数学期望,但是实际的投掷结果表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。

问题出在哪里？

就在于极限。计算方法本身没有错误，只是现实中试验样本无论多么大，终究也只是一个有穷集合。因此我们需要承认它的期望值是无穷大；而实际上它的均值又不可能是无穷大，由于试验次数没有办法达到真正意义上的“无穷大”。

用电脑进行模拟试验发现，实际试验的平均值是随着实验次数的增加而缓慢变化的。在大量实验以后，其试验均值X可以近似表示为`\D X≈\frac{\ln n}{\ln2}`，可见当实验次数趋向无穷大的时候，样本均值也趋向无穷大。比如，100万次实验的平均值约等于6/0.301=19.9，即 20元左右（确实不高）；要样本均值达到1000元，实验次数就要达到`10^{332}`，这时候可能出现的最高投掷次数约为1000次左右，而相应的最高奖金额已达到天文数字。

wayne

kastin 发表于 2014-11-3 13:45
本质上，期望是概率关于随机变量的一阶中心矩（“中心”的意思是，关于原点的矩）。在随机变量是连续变 ...

头一回听说这个悖论，关于 圣彼得堡悖论，我就死理性一回：
假设硬币抛出正面的理论概率是$p$,负面是 $1-p$
那么 奖金的期望是 ：
\[\sum _{k=1}^{\infty } 2^k p (1-p)^{k-1} = \frac{2 p}{2 p-1}\]
如图：



这就是说奖金的期望在$1/2$处是奇点。
硬币为正的概率越是接近于$1/2$ ，其结果越是不确定
下面就不多说了吧。

jjkkt

kastin的悖论很有意思 但是正说明了问题所在 这个实验的总体其实是无穷次的 总体均值只能是理论均值 而期望的定义等价的显然也是理论均值 你说的均值和期望偏差极大 其实是在拿样本均值与期望比较 这种现象还有个类似的 每次下注都下之前亏损的所有金额的两倍 赢了后就收手 这样总能确保最终赢 还有 期望不是加权平均 根据定义式 期望是加权的和 没除法你告诉我平均在哪？ 只是因为等价于总体平均才又简称均值 你不能拿样本均值来否认总体均值