警察与小偷

mathe

是的，不过我们还可以增加警察的数目（当然问题更加复杂了 ）

无心人

我觉得概率总是1/2

mathe

现在先考虑前面最简单的模型:

由于A路径比较长，B路径比较短。
假设小偷和警察同时走A路径，小偷被警察抓住概率为90%；
假设小偷和警察同时走B路径，小偷被警察抓住概率为50%.

我们可以作出下面的表格，也就是小偷和警察都选择A,被抓概率为0.9,小偷和警察都选择B,被抓概率0.5,其余情况0

	A	B	小偷
A	0.9	0	p
B	0	0.5	1-p
警察	q	1-q

我们先考虑小偷的策略，对于他来说，警察的行为不可预测，它可以假设警察用q的概率选择路径A,1-q的概率选择路径B
所以他选择路径A被抓的概率为0.9*q,选择B被抓的概率为0.5(1-q).
我们从这里很难看出选择哪一条路径更加好。那么如果他借助上帝的帮忙，通过扔硬币来决定去向又会如何呢？
假设这个硬币不怎么均匀，所以小偷选择取路径A的概率为p,选择取路径B的概率为1-p,那么我们得到小偷被抓的概率为
$0.9*p*q+0.5*(1-p)*(1-q)=0.5*(1-p)+(1.4*p-0.5)*q$
上面的表达式同时含有p和q,看上去同样很难分析结论，但是我们发现，如果小偷选择$p=5/28$,那么上面的表达式结果将是常数$23/56$，同警察的行为无关。
也就是说，小偷可以以$5/28$的概率选择路径A,$23/28$的概率选择路径B,那么这样他可以保证有$33/56$可以成功逃跑（不依赖于警察的决策方案）
同样，如果我们反过来分析警察的行为，同样小偷被抓的概率为
$0.9*p*q+0.5*(1-p)*(1-q)=0.5*(1-q)+(1.4*q-0.5)*q$
同样得到警察只要用$5/28$的概率选择路径A,用$23/28$的概率选择路径B,那么他可以保证有$23/56$的概率可以抓住小偷（不依赖于小偷逃跑路线的决策）
而无论从谁的角度计算，只要双方都是理性的，都可以得出小偷被抓的概率为$23/56$

mathe

当然如果不论选择A还是B,如果小偷和警察走同一个路径就会被抓，不同路线就能够逃跑，那么模型就变成:

	A	B	小偷
A	1.0	0	p
B	0	1.0	1-p
警察	q	1-q

计算就可以知道，他们可以通过均等选择两条路径(投均匀的硬币决定去向），而小偷逃跑的概率为$1/2$,这个就是无心人的结论对应的模型

mathe

推广到更加一般的情况也可以用类似的方法去解决,严格的理论分析可以看运筹学(Operations Research).

无心人

那到底符合现实的模型是？

PS:
不能推论说哪条道路概率多少

mathe

怎样算符合现实的模型呢？对于实际问题，每条路径的概率是多少应该是客观存在的，只是通常具体数值不知道而已（因为没有人会去统计）。
通常实际中纳什模型会用于经济学，还有赌场中应该很常用。（只有这种同样问题会被不断重复遇到的情况，我们才会将各个路径对应的概率事先给计算出来（或者说统计出来））

无心人

能不能根据长度确定概率
长度为0，概率是100，长度无穷，概率0
是一个指数函数吧

mathe

这个是另外一个独立的问题了，关于如何设计单个路径时候概率模型的问题。