一道几何题求解

jeff126

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给道几何题
如图，已知 AC、BD 的长度，求线段 AB 的长度。
在魔方吧中有人给出梅涅劳斯定理及赛瓦定理的解法
本人想知道有无其他解法

mathe

用射影几何计算会相对简单很多。
可以通过射影变换将EF和GH的交点映射到无穷远，得到新的图形中EF//GH

在新图形中，${CD}/{BD}={EF}/{GB}={EF}/{GH}={AC}/{AB}$
而射影变换是保持直线上四个点的交比不变的，比如四个点A,D,B,C，它们的交比为${AB:AC}/{BD:CD}$
而根据上面推出的等式，这个交比这时等于1
也就是证明了在射影变换之前也满足${AB*CD}/{BD*AC}=1$

mathe

如果我们过AEDF做一个椭圆，那么这个题目中，GH就是点C关于这个椭圆的极线，同样点C是直线GH关于椭圆的极点。
同样EF是B的极线，B是EF的极点。
特别的，当AEDF四点共圆时，极线和极点有很明显的几何意义。我们过B做圆的两根切线，切点必然是E和F.

无心人

不得使用高等几何

mathe

射影几何不知道是不是属于高等几何 高等是个很模糊的概念
不过像“梅涅劳斯定理及赛瓦定理”通常中学课本也不会出现。
另外这个题目用解析几何硬算应该也能够解决，只是应该比较复杂

mathe

呵呵，关于极线和极点的概念我还是记错了，正确的看链接：
http://mathworld.wolfram.com/Polar.html

无心人

高中课本以下的几何
这么限定如何

mathe

那无非是要求用初等方法证明BD*AC=AB*CD
其实结论知道了，问题就要相对简单很多；但是如果在不知道这个结论的情况下，直接用初等几何去做还是很难的。

无心人

确实是

这个题目比较初等
用简单的方法才好看些吧

gxqcn

原帖由 mathe 于 2008-6-30 09:49 发表
那无非是要求用初等方法证明BD*AC=AB*CD
其实结论知道了，问题就要相对简单很多；但是如果在不知道这个结论的情况下，直接用初等几何去做还是很难的。

高手与低手的区别在于，看到一些题目，可以迅速找到解决方案，
当然有些是需要借助一些高等数学知识，或一些现成的定理。

而高等数学或这些定理又是建筑在大量的初等数学或推理上的，
所以在知道这些结论后，可以想办法用常规的初等知识去证明，
不过，有时会非常非常烦琐，
所以人们引入了新的数学概念、数学符号、数学定理，
以便更好的研究交流。

有时，也可能在初等数学中存在一条小路，从已知迅速抵达结论，
这往往需要对该领域有相当的把握度，能做到的通常称为妙解，因为其构思很巧妙，
而利用高等数学或现成的定理，通常成为巧解，因为它们通常很简洁。

妙解一般是需要构造性思维的，如经常表现在平面几何、不等式证明等方面。

这是我的一点感想。水平有限，欢迎指正。