球面选点问题——菩萨的难题

lsr314

佛祖释迦牟尼要唐三藏从大唐帝都长安到天竺国大雷音寺求取大乘真经，传教东土，劝化众生。
由于真经宝贵，不可轻易授受，佛祖决意极力使取经人历尽磨难，懂得珍惜。
难点之一就是要让取经人走过地球上最远的路途。

假定唐三藏在大徒弟孙悟空的帮助下总是走两地之间的测地线（大圆劣弧），
于是佛祖首先施展移山倒海之法，将大雷音寺移到了长安在地球上的对径点。
这样一来，他们无论如何都得至少走过半个地球才行。

这还不够，佛祖又令弟子观世音在地球上选取81个地点为难唐三藏，让他们必须经过这些地点。
假定孙悟空拥有超级直觉，在几个跟斗巡遍地球后，很快就能找到最佳顺序，使得经历这81难而到达目的地的路程最短，
那么观世音菩萨应该如何选取这81难地点，使得总路程最长呢？

这对菩萨来说也是个不小的难题，于是菩萨决定从较小的数试起。
假定只设1 难，那没什么好想的，设哪里都一样，只需要走过半个地球。也就是 \(f(1)=\pi\). （菩萨将地球看作单位球了）
易得\(f(2)=2\pi,f(3)=\frac{7}{3}\pi\).
来到`n=4`,菩萨初得\(f(4)\approx2.53681\pi\approx7.96964\)， 然后就卡住了

请帮帮菩萨算出确切的\(f(4)\)，以及对于更多的设难点，应该如何选取地点。

补充内容 (2016-2-24 10:06):
关于n=4的结果请看21#，n=5的结果还在计算中

mathe

f(4)中2.53681pi是如何构造的，我只能找到2.5pi

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mathe 发表于 2016-2-18 19:45
f(4)中2.53681pi是如何构造的，我只能找到2.5pi

当n越来越大时，这些点显然不会都在赤道上（假定长安为北极，大雷音寺为南极），
对于n=4，菩萨的初步打算是有两个点在赤道上，另外两个分别在赤道的上方和下方一点

mathe

最值情况应该具有很好的对称性。赤道两点，那么对称情况这两点也应该对极，不像可以取得最优值情况。

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mathe 发表于 2016-2-19 20:10
最值情况应该具有很好的对称性。赤道两点，那么对称情况这两点也应该对极，不像可以取得最优值情况。

得到了一个具体的解，不过还没有证明它是最优的，请看这个帖子的26和27楼
http://tieba.baidu.com/p/4352667 ... ost=0&pn=0&

mathe

试着用随机取点方法，用计算机找出
current max value:7.920612
        {x=-0.607421,y=-0.794375,z=0.003029}
        {x=-0.509610,y=0.680635,z=-0.526340}
        {x=0.964092,y=0.262390,z=-0.040963}
        {x=-0.495252,y=0.646560,z=0.580246}

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对于n=5，需要考虑120种路线，即使借助计算机也很难找出最优解了

mathe

120种线路不是大问题，主要是变量数目太多，极值点也很多。纯粹随机寻找很困难。

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mathe 发表于 2016-2-19 21:18
120种线路不是大问题，主要是变量数目太多，极值点也很多。纯粹随机寻找很困难。

我的意思是根据数值解得出精确解的这个过程，需要考虑很多路线

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实际上这个问题的最优解的状态并不是在导数为0的时候取得，而是在某些路线总路程相同的时候取得，所以结果往往是不对称的