化小数为分数

liangbch

本文同步发表于我的csdn博客，见http://blog.csdn.net/liangbch/archive/2008/01/24/2064108.aspx　　

　　实数包含有理数和无理数，任何有理数都可以表示为p/q(p,q是整数，q>0)的形式，如果指定一个分数的分母不超过某个值，对于一般的有理数或者无理数，是不可以用一个分数来准确地表示的。我们这里主要讨论，如何找出一对分数p1/q1和p2/q2,使得q1 和q2 小于给定的值n，而p1/q1和p2/q2尽可能接近一个给定的实数.。为了便于说明，我们用C++语言的格式给出问题的定义：

函数接口void search( int &p1, int &q1, int &p2,int &q2, int n, double f)
功能: 找出一对不可约p1/q1 和p2/q2, 使得这两个分数的分母不大于n, 且p1/q1 <= f <= p2/q2, 且这两个分数尽可能接近f。

在解决这个问题之前，我们先介绍一些准备知识。

定义1：最简分数（也称既约分数或不可约分数）。若p,q的最大公约数是1，我们称分数p/q 是最简分数。不特别说明，以下提到的分数的分子和分母均为非负整数。

定义2：真分数，若p,q是正整数，0<p/q<1, 我们说p/q是真分数

定理1：分数a/b, c/d是最简真分数（也可以是0/1或者1/1）且a/b<c/d, 则有
1) 数(a+c)/(b+d)是一个最简分数，
2) a/b < (a+c)/(b+d)<b/d.

我们这里仅对第二个结论给出证明。我们定义 r1=a/b, r2=c/d, 则
  (a+c)/(b+d) – a/b
=(ab+cb-ab-ad)/(bb+bd)
=(cb-ad)/(bb+bd)
=(r2*bd-r1bd)/(bb+bd)
=(r2-r1)*bd /(bb+bd) > 0
固(a+c)/(b+d)>a/b。同理可证 (a+c)/(b+d) < c/d

定义3：法雷数列
对任意给定的一个自然数n，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上0/1，在最后一个分数之后加上1/1，这个序列称为n级法雷数列，以Fn表示。如F5为：1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5.

法雷数列的构造：
　　法雷数列的构造可采用2分法，即如果 a/b， c/d （a/b<c/d）是一个n级法雷数列中的两个元素，且b+d<=n,  则可以在a/b, c/d 中间插入一个分数 (a+b)/(c+d)。下面以5级法雷数列为例，给出详细的过程。

step1: 准备两个数 0/1, 1/1 作为整个法雷数列的第一个元素和最后一个元素
　　0/1, 1/1
step2: 在两个数中间插入1个数1/2, 变为
　　0/1, 1/2, 1/1
step3: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为
　　0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1
step4: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为
　　0/1, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 1/1
step5: 0/1 和 1/4 之间 和3/4和 1/1 仍然可插入1个数，使得插入的数分母不大于5
　　0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1
至此，该序列包含了所有分母不大于5的最简真分数，且各个分数以递增顺序排列。

法雷数列的性质：

• 除了1级法雷数列外，所有的法雷数列都有奇数个元素，其中居于正中间的那个元素一定是1/2.
• 当n趋于正无穷时，n级法雷数列包含的元素的个数趋于3/(π*π) * n² ≈ 0.30396355 * n².
• n级法雷数列中，若相邻两个元素是a/b 和c/d (a/b<c/d),则这两个数的差为1/bd, 这个差的最小值为1/(n*(n-1)), 最大值为1/n, 在法雷数列的第一个元素（0/1）与其后继以及最后一个元素（1/1）与前驱之间的差取到最大值，而正中间的那个元素1/2 与其前驱和后继元素之间的差取次大值 1/(n*2).

实数化分数方法
　　对于有理数0，我们可以用0/1表示；对于有理数x<0, 总可以表示为 –(p/q), 其中p>0,q>0；而对于所有大于等于1的正有理数，总可以表示为 n + p/q ( n, p, q为非负整数，q!=1, p<q)的形式, 以分数形式可表示为(nq + p) /q。 因此，转化小于1的正有理数为分数是实数转化为分数的基本问题。由于无理数不能用一个分数来准确的表示，因此，我们可用两个分数 a/b, c/d 来逼近这个实数，使得无理数f >= a/b且f<=c/d，a/b称为实数f的下界，c/d称为实数f的上界，求这个下界和上界实际上是找出一个n级法雷数列中两个相邻的元素。下面是化一个小于1的正实数为分数的算法。
Step1: 置实数f 的下界为 a/b=0/1, 上界为c/d =1/1。
Step2: 计算出下界和上界之间的数 p/q = (a+c)/(b+d)
Step3: 若 q>n(分母大于指定值），计算中止。
　　　 若 p/q =f，置a/b为p/q , 置c/d 为p/q, 计算中止。
　　　 若 p/q > f,  置下界a/b为p/q
　　　 若 p/q< f,  置上界c/d为p/q
Step4, 重复step 2-3
当计算终止时，a/b为这个实数的下界，c/d为这个实数的上界。

如果要转化的实数f小于1/2, 用上述逐步求精的步骤，计算出上下界，迭代次数稍多。我们可用下面的步骤代替step1, 直接找出一个更精确的上下界。 若e= 1/x 的向下取整，则这个实数的下界和上界为 1/(e+1)和1/e

误差分析
　　根据法雷数列性质3我们知道，n级法雷数列中相邻的两个元素可以表示一个区间 [a/b, c/d]，前一个元素q/b为区间的下界，后一个元素c/d为区间的上界，这个区间的宽度h =c/d- a/b,满足 1/n <= h <1/(n*n-1)。若运气好的话，一个实数正好落在一个宽度为1/n(n-1) 的区间，这个区间的下界或上界与这个实数的差不超过abs(1/(n*(n-1)))。若运气很差，一个实数恰好小于法雷序列的第2个元素或者最后一个元素。则这个元素的下界和上界与这个实数的差不超过1/n。

下面给出一段示例代码，这段代码可计算出sqrt(2),sqrt(3),sqrt(5) 以及无理数π和e的 分数表示。

1. #include "math.h"
   
2. #include "stdlib.h"
   
3. #include "stdio.h"
   
4. 
   
5. typedef struct _frac
   
6. {
   
7.         unsigned long  numerator;
   
8.         unsigned long denominator;
   
9. }FRAC;
   
10. 
    
11. double getValue( FRAC f)
    
12. {
    
13.         double t=(double)f.numerator / (double)f.denominator;
    
14.         return t;
    
15. }
    
16. 
    
17. //f必须为正数
    
18. void searchFrac( FRAC* pLow, FRAC* pHigh,int n, double f)
    
19. {
    
20.         FRAC low;
    
21.         FRAC high;
    
22.         FRAC mid;
    
23. 
    
24.         int k=(int)f;
    
25.         f -= (double)k;
    
26. 
    
27.         low.numerator=0;
    
28.         low.denominator=1;
    
29.         high.numerator=1;
    
30.         high.denominator=1;
    
31. 
    
32.         mid.numerator= low.numerator + high.numerator;
    
33.         mid.denominator=low.denominator + high.denominator;
    
34. 
    
35.         while ( mid.denominator < n && fabs(f-getValue(mid))>1e-15 )
    
36.         {
    
37.                 if ( getValue(mid) > f)
    
38.                 {
    
39.                         high=mid;
    
40.                 }
    
41.                 else
    
42.                 {
    
43.                         low=mid;
    
44.                 }
    
45.                 mid.numerator=  low.numerator   + high.numerator;
    
46.                 mid.denominator=low.denominator + high.denominator;
    
47.         }
    
48. 
    
49.         if (k>0)
    
50.         {
    
51.                 low.numerator  += k * low.denominator;
    
52.                 high.numerator += k * high.denominator;
    
53.         }
    
54.         *pHigh = high;
    
55.         *pLow  =low;
    
56. }
    
57. 
    
58. int main(int argc, char* argv[])
    
59. {
    
60.         FRAC low, high;
    
61.         double t;
    
62.         double f[]=
    
63.         {
    
64.                 2,
    
65.                 3,
    
66.                 5,
    
67.                 3.1415926535897932384626433832795,
    
68.                 2.7182818284590452353602874713527
    
69.         };
    
70. 
    
71.         for (int i=0;i<5;i++)
    
72.         {
    
73.                 if (i<3)
    
74.                         t=sqrt(f[i]);
    
75.                 else
    
76.                         t=f[i];
    
77. 
    
78.                 searchFrac(&low,&high,1000000,t);
    
79.                 printf("f=%.16f,low=%u/%u,high=%u/%u,\tlow=%.15f high=%.15f\n",t,
    
80.                         low.numerator,low.denominator,high.numerator,high.denominator,
    
81.                         getValue(low),getValue(high));
    
82.         }
    
83.         return 0;
    
84. }

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参考文献：

• 第36次编程比赛第1题题目 — 编程爱好者论坛：http://www.programfan.com/club/post-185318.html
• Farey Sequence -- from Wolfram MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/FareySequence.html

[ 本帖最后由 mathe 于 2008-1-25 08:27 编辑 ]

liangbch

定理1：分数a/b, c/d是最简真分数（也可以是0/1或者1/1）且a/b<c/d, 则有
1) 数(a+c)/(b+d)是一个最简分数.

值得注意的是，一般情况下，这个命题是不成立的(如1/4+1/8=2/12,而2/12不是一个最简分数）。但是如果按照法雷序列的构造方法，则得到的每一个数均为最简分数。