东邪 发表于 2009-2-18 20:23:20

切西瓜

一个西瓜切N刀,最多能成多少块?要证明。

哪儿有答案?

谢谢!

无心人 发表于 2009-2-18 22:42:14

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gxqcn 发表于 2009-2-19 07:35:50

这西瓜得有磁性,需切而不散。
可以保持原状准备挨下一刀。:lol :lol

mathe 发表于 2009-2-19 08:46:07

是要,要不然每次切之前可以重新排放那就没有意思了.
或者说是某位超级武功高手用极快的速度连续切了k刀(由于速度极快,西瓜来不及散开)

无心人 发表于 2009-2-19 09:13:17

4的我是按竖切三刀最多7块
再横一刀,14块

4刀有没有15或者16块的切法
我想象不出来
假设竖切两刀是四块
再横向交叉切两刀
是多少块??

无心人 发表于 2009-2-19 09:13:59

这问题等价于n个平面能最多分割空间为多少部分!!!!

g99 发表于 2009-2-19 09:14:37

东邪嘛,当然快:lol

无心人 发表于 2009-2-19 09:16:10

http://www.xtyz.com/jiaoyanzu/sx/ArticleShow.asp?ArticleID=177

无心人 发表于 2009-2-19 09:18:51

研究性课程是指以培养学生的创新精神和创造能力为目的的课程。它要求给学生提供研究的问题和背景,让学生自主研究知识的发生发展过程,因而具有研究性;它从问题的提出、方案的设计与实施,到结论的得出,均由学生来做,因而具有自主创新性;它一般要通过调查、实验、归纳猜想、推证结论、社会实践等方式进行学习,因而具有开放性和实践性。


一、切入课题

研究性课程可分为问题研究模式和自主研究模式两种。问题研究模式的一般程序为:创设问题情景,切入课题;提供或搜集资料;探求解决问题的方法;得出科学结论;发展、运用新知。

在立体几何的中有一个问题:“3个相互平行的平面可将空间分成几部分?”正确的解答:“4个部分。”接着提出:“3个平面可将空间分成几部分?”的问题,由于去掉了“相互平行”的条件,这个问题必须分类讨论回答。

当3个平面相互平行时,分空间为4个部分;

当有且仅有两个平面平行时,分空间为6个部分;

当3个平面两两相交于一条直线时,分空间为6个部分;

当3个平面两两相交,3条交线不交于同一点时,分空间为7个部分;

当3个平面两两相交,3条交线交于一点时,分空间为8个部分。

于是我们得出“3个平面最多可将空间分为8个部分”的结论。在这一背景下,提出了值得深入研究的新课题:“4个平面最多可将空间分为多少部分?n个平面又将空间最多分成多少部分?”
这两个问题不属于教材和大纲的要求范围,但对它们的探索和研究有助于培养我们的创新精神和实践能力。


二、探索和研究

不少学生对“4个平面最多可以把空间分成多少部分”的研究取得了成功。方法是多样的,有的采取作图直观计数,有的采用以三棱锥为载体计数,有的采用递推分析。不妨将第二种方法作一个简单介绍:三棱锥的4个面延展后就成了4个平面两两相交,且交线互不平行,每3个平面相交于一点,4个交点就是三棱锥的4个顶点。每个顶点各自“对着”一部分空间,4个顶点,6条棱,4个面“对着”14个部分空间,但4个面中间围了一部分空间,所以4个平面最多可将空间分成15个部分。

但用类似的方法却不能解决n个平面分空间的问题。有同学采用实验、观察、归纳的方法得出了n个平面最多可以将空间分为 (n^3+5n)/6+1 部分。

他的探索过程是这样的:1个点最多将1条直线分为2部分,2个点分为3部分,3个点分为4部分……;l条直线最多将平面分为2部分,2条直线分为4部分,3条直线分为7部分……;1个平面最多将空间分为2部分,2个平面分成4部分,3个平面分为8部分……通过列表、观察、归纳,得出了一个递推关系,于是推得结论。

老师肯定了他的探索、观察、归纳能力,同时指出,这个递推关系只是一个猜想,是否正确,还有待证明,最后应形成一篇论文,让大家都能看懂。


三、科学论证

n个平面最多可将空间分成 (n^3+5n)/6+1 部分。

这是一个与自然数n有关的数学命题,它的证明要用到数学归纳法,要高中二年级下期才学,对于高一学生来说,具有很高的难度。(同学可以找到高二这部分内容看看)

这位同学自学了高二的“数学归纳法”,证明了他归纳猜想的递推关系,对于三维以下空间是完全正确的,并由此可以得出结论。但他认为运算还相当繁琐,还需要简化运算过程。于是他又根据已自学的杨辉三角与组合数的知识进行类比,得出了递推关系的简化公式:P(D, n) = \sum_{i=0}^{D}C_n^i(1<=D<=3, n>=0, n,D in Z)(*)

特别地,P(1,n)=n+1,即 n 个点可把一条直线(一维空间)最多分成 n+1 部分;
P(2,n)={n(n+1)}/2+1 ,即 n 条直线可把一个平面(二维空间)最多分成 {n(n+1)}/2+1 部分;
P(3,n)=(n^3+5n)/6+1,即n个平面可把一个空间(三维空间)最多分成 (n^3+5n)/6+1 部分。

用最后一个公式彻底解决了 n 个平面最多可将三维空间分成P部分的问题。
比如“不准移动西瓜,5刀最多可将一个西瓜切成多少块?”这样的难题也就迎刃而解了。只需将n=5代入最后一个公式得P=26,即最多可分为26块。

这位同学最后提及:“公式(*)只在D≤3时获证,至于D>3时公式(*)是否成立,其几何意义如何等,还有待对这个问题有兴趣的朋友进一步研究。

按他的猜想D>3时,公式(*)也应是正确的,但三维空间的立方体如何去分割四维空间?的确需要进一步研究。

这个课题的研究是必修课内容的延伸,是大家感兴趣的问题,是大家通过努力可以解决的问题,这恰好符合研究性课程的选题原则。通过这个问题的研究,提高了大家学习数学的兴趣,培养了大家的研究能力,动手实践能力和创新能力,也培养了同学们的自学能力和表达能力,其效果是深远的。


四、深入发展

这个同学《“平面分空间”问题的研究》论文发表在北京《数理天地》杂志2000年第七期上。还有一位同学对这个问题产生了浓厚的兴趣,通过对高等代数、空间解析几何等高等数学的自学和研究,写出了《对n维欧几里得空间的分割》的论文,论文无论从研究方式、表述形式、内容深度都有了提高,基本上解决了用n维标准形分割n+1维空间的问题,使这一研究课题向纵深发展,结论上更具普遍性。

mathe 发表于 2009-2-19 09:33:03

是的,等价于n个平面切分空间最多多少份.
而如果我们先考虑n条直线将平面分割成多少份,我们将这个问题答案记为N(1,n)
而平面分割空间的答案记为N(2,n),同样3维超平面分割4维空间的最多数目为N(3,n),...
特别的n个点可以分割直线成n+1份,即N(0,n)=n+1.
现在我们考虑通常的情况,
假设n-1个k维超平面已经分割k+1维空间成N(k,n-1)份.
现在再来一个k维超平面e,它会同其它n-1个k维超平面都相交,这n-1个k维超平面同超平面e都相交出一个k-1维超平面.
我们可以知道这n-1个k-1维超平面(交面)正好是n-1个k-1维超平面对k维空间e的一个划分,最多分成N(k-1,n-1)个部分.
而我们现在看这个k为超平面e,它被划分的每个部分都正好将k+1维空间原先划分好的一个部分一分为二,所以由于这个超平面e的加入,可以最多多出N(k-1,n-1)个部分.
由此我们可以得出N(k,n)<=N(k,n-1)+N(k-1,n-1),而实际上,只要上面划分工程中不出现任何超平面(以及它们的各种交面,交面的交线等都不平行,这个等号总可以取到的),所以递推关系就是N(k,n)=N(k,n-1)+N(k-1,n-1), N(0,n)=n+1,N(k,1)=2
所以我们可以得到N(1,n)=N(0,n-1)+N(0,n-2)+...+N(0,1)+N(1,1)=n+(n-1)+...+2+2=1+n(n+1)/2=
                              N(2,n)=N(1,n-1)+N(1,n-2)+...+N(1,1)+N(2,1)=(n-1)+n(n-1)/2+(n-1)(n-2)/2+...+2*1/2+2=n+1+(n+1)*n*(n-1)/6
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