切西瓜

东邪

一个西瓜切N刀，最多能成多少块？要证明。

哪儿有答案？

谢谢！

无心人

1   2
2   4
3   8
4  15
5  26

gxqcn

这西瓜得有磁性，需切而不散。
可以保持原状准备挨下一刀。

mathe

是要,要不然每次切之前可以重新排放那就没有意思了.
或者说是某位超级武功高手用极快的速度连续切了k刀(由于速度极快,西瓜来不及散开)

无心人

4的我是按竖切三刀最多7块
再横一刀，14块

4刀有没有15或者16块的切法
我想象不出来
假设竖切两刀是四块
再横向交叉切两刀
是多少块？？

无心人

这问题等价于n个平面能最多分割空间为多少部分！！！！

g99

东邪嘛，当然快

无心人

http://www.xtyz.com/jiaoyanzu/sx/ArticleShow.asp?ArticleID=177

无心人

研究性课程是指以培养学生的创新精神和创造能力为目的的课程。它要求给学生提供研究的问题和背景，让学生自主研究知识的发生发展过程，因而具有研究性；它从问题的提出、方案的设计与实施，到结论的得出，均由学生来做，因而具有自主创新性；它一般要通过调查、实验、归纳猜想、推证结论、社会实践等方式进行学习，因而具有开放性和实践性。


一、切入课题

研究性课程可分为问题研究模式和自主研究模式两种。问题研究模式的一般程序为：创设问题情景，切入课题；提供或搜集资料；探求解决问题的方法；得出科学结论；发展、运用新知。

在立体几何的中有一个问题：“3个相互平行的平面可将空间分成几部分？”正确的解答：“4个部分。”接着提出：“3个平面可将空间分成几部分？”的问题，由于去掉了“相互平行”的条件，这个问题必须分类讨论回答。

当3个平面相互平行时，分空间为4个部分；

当有且仅有两个平面平行时，分空间为6个部分；

当3个平面两两相交于一条直线时，分空间为6个部分；

当3个平面两两相交，3条交线不交于同一点时，分空间为7个部分；

当3个平面两两相交，3条交线交于一点时，分空间为8个部分。

于是我们得出“3个平面最多可将空间分为8个部分”的结论。在这一背景下，提出了值得深入研究的新课题：“4个平面最多可将空间分为多少部分？n个平面又将空间最多分成多少部分？”
这两个问题不属于教材和大纲的要求范围，但对它们的探索和研究有助于培养我们的创新精神和实践能力。


二、探索和研究

不少学生对“4个平面最多可以把空间分成多少部分”的研究取得了成功。方法是多样的，有的采取作图直观计数，有的采用以三棱锥为载体计数，有的采用递推分析。不妨将第二种方法作一个简单介绍：三棱锥的4个面延展后就成了4个平面两两相交，且交线互不平行，每3个平面相交于一点，4个交点就是三棱锥的4个顶点。每个顶点各自“对着”一部分空间，4个顶点，6条棱，4个面“对着”14个部分空间，但4个面中间围了一部分空间，所以4个平面最多可将空间分成15个部分。

但用类似的方法却不能解决n个平面分空间的问题。有同学采用实验、观察、归纳的方法得出了n个平面最多可以将空间分为 $(n^3+5n)/6+1$ 部分。

他的探索过程是这样的：1个点最多将1条直线分为2部分，2个点分为3部分，3个点分为4部分……；l条直线最多将平面分为2部分，2条直线分为4部分，3条直线分为7部分……；1个平面最多将空间分为2部分，2个平面分成4部分，3个平面分为8部分……通过列表、观察、归纳，得出了一个递推关系，于是推得结论。

老师肯定了他的探索、观察、归纳能力，同时指出，这个递推关系只是一个猜想，是否正确，还有待证明，最后应形成一篇论文，让大家都能看懂。


三、科学论证

n个平面最多可将空间分成 $(n^3+5n)/6+1$ 部分。

这是一个与自然数n有关的数学命题，它的证明要用到数学归纳法，要高中二年级下期才学，对于高一学生来说，具有很高的难度。（同学可以找到高二这部分内容看看）

这位同学自学了高二的“数学归纳法”，证明了他归纳猜想的递推关系，对于三维以下空间是完全正确的，并由此可以得出结论。但他认为运算还相当繁琐，还需要简化运算过程。于是他又根据已自学的杨辉三角与组合数的知识进行类比，得出了递推关系的简化公式：$P(D, n) = \sum_{i=0}^{D}C_n^i(1<=D<=3, n>=0, n,D in Z)$（*）

特别地，$P(1,n)=n+1$，即 n 个点可把一条直线（一维空间）最多分成 $n+1$ 部分；
$P(2,n)={n(n+1)}/2+1$ ，即 n 条直线可把一个平面（二维空间）最多分成 ${n(n+1)}/2+1$ 部分；
$P(3,n)=(n^3+5n)/6+1$，即n个平面可把一个空间（三维空间）最多分成 $(n^3+5n)/6+1$ 部分。

用最后一个公式彻底解决了 n 个平面最多可将三维空间分成P部分的问题。
比如“不准移动西瓜，5刀最多可将一个西瓜切成多少块？”这样的难题也就迎刃而解了。只需将n=5代入最后一个公式得P＝26，即最多可分为26块。

这位同学最后提及：“公式（*）只在D≤3时获证，至于D＞3时公式（*）是否成立，其几何意义如何等，还有待对这个问题有兴趣的朋友进一步研究。

按他的猜想D＞3时，公式（*）也应是正确的，但三维空间的立方体如何去分割四维空间？的确需要进一步研究。

这个课题的研究是必修课内容的延伸，是大家感兴趣的问题，是大家通过努力可以解决的问题，这恰好符合研究性课程的选题原则。通过这个问题的研究，提高了大家学习数学的兴趣，培养了大家的研究能力，动手实践能力和创新能力，也培养了同学们的自学能力和表达能力，其效果是深远的。


四、深入发展

这个同学《“平面分空间”问题的研究》论文发表在北京《数理天地》杂志2000年第七期上。还有一位同学对这个问题产生了浓厚的兴趣，通过对高等代数、空间解析几何等高等数学的自学和研究，写出了《对n维欧几里得空间的分割》的论文，论文无论从研究方式、表述形式、内容深度都有了提高，基本上解决了用n维标准形分割n+1维空间的问题，使这一研究课题向纵深发展，结论上更具普遍性。

mathe

是的,等价于n个平面切分空间最多多少份.
而如果我们先考虑n条直线将平面分割成多少份,我们将这个问题答案记为N(1,n)
而平面分割空间的答案记为N(2,n),同样3维超平面分割4维空间的最多数目为N(3,n),...
特别的n个点可以分割直线成n+1份,即N(0,n)=n+1.
现在我们考虑通常的情况,
假设n-1个k维超平面已经分割k+1维空间成N(k,n-1)份.
现在再来一个k维超平面e,它会同其它n-1个k维超平面都相交,这n-1个k维超平面同超平面e都相交出一个k-1维超平面.
我们可以知道这n-1个k-1维超平面(交面)正好是n-1个k-1维超平面对k维空间e的一个划分,最多分成N(k-1,n-1)个部分.
而我们现在看这个k为超平面e,它被划分的每个部分都正好将k+1维空间原先划分好的一个部分一分为二,所以由于这个超平面e的加入,可以最多多出N(k-1,n-1)个部分.
由此我们可以得出N(k,n)<=N(k,n-1)+N(k-1,n-1),而实际上,只要上面划分工程中不出现任何超平面(以及它们的各种交面,交面的交线等都不平行,这个等号总可以取到的),所以递推关系就是N(k,n)=N(k,n-1)+N(k-1,n-1), N(0,n)=n+1,N(k,1)=2
所以我们可以得到N(1,n)=N(0,n-1)+N(0,n-2)+...+N(0,1)+N(1,1)=n+(n-1)+...+2+2=1+n(n+1)/2=
                              N(2,n)=N(1,n-1)+N(1,n-2)+...+N(1,1)+N(2,1)=(n-1)+n(n-1)/2+(n-1)(n-2)/2+...+2*1/2+2=n+1+(n+1)*n*(n-1)/6