本帖最后由 王守恩 于 2018-3-11 01:12 编辑
mathe 发表于 2018-3-5 19:39
对于一般情况，我们假设AA'分角A为u,v两个角，于是有
$tan(v)=tan(A-u)=\frac{tan(A)-tan(u)}{1+tan(A)tan ...
我还是在想：
1，此题先人应该有成熟的解法(先人比我们聪明多了)。
2，可以这样认为(?)：任意一个三角形AEF都恰好对应另一个三角形ABC。
FullSimplify@Minimize[{Sqrt,(a-4)^2==a^2+d^2&&b^2+(c-4)^2==(b-d)^2+c^2&&b/3+c/4==1},{a,b,c,d}]
我以为直接开放会降低求解速度,没想到也能快速求解出来
\[\left\{\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}},\left\{a\to 2 \sqrt{6}-3,b\to 3 \left(\sqrt{6}-2\right),c\to -4 \left(\sqrt{6}-3\right),d\to 2 \left(\sqrt{6}-2\right)\right\}\right\}\]
本帖最后由 mathematica 于 2018-3-22 10:21 编辑
王守恩 发表于 2018-3-10 19:06
我还是在想：
1，此题先人应该有成熟的解法(先人比我们聪明多了)。
2，可以这样认为(?)：任意一个三 ...
利用三次余弦定理,照样可以得到约束,然后求解最小值
(*计算折纸的痕迹的最小长度*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
FullSimplify@Minimize[
{g,(*目标函数*)
(*约束条件*)
a+b==4&&
c+d==3&&
e+f==5&&
b^2+c^2==a^2&&(*勾股定理或者余弦定理*)
(a^2+f^2-g^2)/(2*a*f)==4/5&&(*余弦定理*)
(d^2+e^2-f^2)/(2*d*e)==3/5&&(*余弦定理*)
a>=0&&
b>=0&&
c>=0&&
d>=0&&
e>=0&&
f>=0&&
g>=0
},
{a,b,c,d,e,f,g}](*自变量*)
求解结果
\[\left\{\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}},\left\{a\to 7-2 \sqrt{6},b\to 2 \sqrt{6}-3,c\to 2 \left(\sqrt{6}-2\right),d\to 7-2 \sqrt{6},e\to -5 \left(\sqrt{6}-3\right),f\to 5 \left(\sqrt{6}-2\right),g\to \frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}\right\}\right\}\]
变量含义见附件图片
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
FullSimplify@Solve[
a+b==4&&
c+d==3&&
e+f==5&&
b^2+c^2==a^2&&(*勾股定理或者余弦定理*)
(a^2+f^2-g^2)/(2*a*f)==4/5&&(*余弦定理*)
(d^2+e^2-f^2)/(2*d*e)==3/5&&(*余弦定理*)
a>=0&&
b>=0&&
c>=0&&
d>=0&&
e>=0&&
f>=0&&
g>=0
,
{a,b,d,e,f,g}(*自变量*)
]
求解出各个长度以c为变量
\[\left\{\left\{a\to \text{ConditionalExpression}\left[\frac{c^2}{8}+2,0<c<3\right],b\to \text{ConditionalExpression}\left,d\to \text{ConditionalExpression},e\to \text{ConditionalExpression}\left[-\frac{5 (c-8) (c+2)}{6 c+32},0<c<3\right],f\to \text{ConditionalExpression}\left[\frac{5 \left(c^2+16\right)}{6 c+32},0<c<3\right],g\to \text{ConditionalExpression}\left[\frac{3 \left(c^2+16\right)^{3/2}}{8 (3 c+16)},0<c<3\right]\right\}\right\}\]
本帖最后由 mathematica 于 2018-3-22 16:51 编辑
mathematica 发表于 2018-3-22 10:03
利用三次余弦定理,照样可以得到约束,然后求解最小值
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
FullSimplify@Solve[
a+b==4&&
c+d==3&&
e+f==5&&
b^2+c^2==a^2&&(*勾股定理或者余弦定理*)
(a^2+f^2-g^2)/(2*a*f)==4/5&&(*余弦定理*)
(d^2+e^2-f^2)/(2*d*e)==3/5&&(*余弦定理*)
a>=0&&
b>=0&&
c>=0&&
d>=0&&
e>=0&&
f>=0&&
g>=0
,
{a,b,c,d,e,f}(*自变量*)
]
查看共同定义域的最小值就可以了
\[\left\{\left\{a\to \text{ConditionalExpression}\left[\frac{1}{8} \left(\left(\text{Root}\left-6\right) \text{Root}\left+25\right),\frac{3}{2}<g<\frac{15}{8}\lor \frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],b\to \text{ConditionalExpression}\left[-\frac{1}{8} \left(\text{Root}\left-7\right) \left(\text{Root}\left+1\right),\frac{3}{2}<g<\frac{15}{8}\lor \frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],c\to \text{ConditionalExpression}\left,\frac{3}{2}<g<\frac{15}{8}\lor \frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],d\to \text{ConditionalExpression}\left[\text{Root}\left,\frac{3}{2}<g<\frac{15}{8}\lor \frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],e\to \text{ConditionalExpression}\left[\frac{5 \left(\text{Root}\left^2-25\right)}{6 \text{Root}\left-50},\frac{3}{2}<g<\frac{15}{8}\lor \frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],f\to \text{ConditionalExpression}\left[\frac{5}{18} \left(-3 \text{Root}\left+\frac{400}{25-3 \text{Root}\left}-7\right),\frac{3}{2}<g<\frac{15}{8}\lor \frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right]\right\},\left\{a\to \text{ConditionalExpression}\left[\frac{1}{8} \left(\left(\text{Root}\left-6\right) \text{Root}\left+25\right),\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],b\to \text{ConditionalExpression}\left[-\frac{1}{8} \left(\text{Root}\left-7\right) \left(\text{Root}\left+1\right),\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],c\to \text{ConditionalExpression}\left,\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],d\to \text{ConditionalExpression}\left[\text{Root}\left,\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],e\to \text{ConditionalExpression}\left[\frac{5 \left(\text{Root}\left^2-25\right)}{6 \text{Root}\left-50},\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right],f\to \text{ConditionalExpression}\left[\frac{5}{18} \left(-3 \text{Root}\left+\frac{400}{25-3 \text{Root}\left}-7\right),\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}<g<\frac{3}{2}\right]\right\}\right\}\]
可知道结果是
\[\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}}\]