这个数列的通项公式可以使用求解线性递推关系来得到。根据数列的前几个数，我们可以列出如下的线性递推关系：
a(n) = 2*a(n-4) + 3*a(n-5) - 7*a(n-6) + 4*a(n-7) - 2*a(n-8)
其中n>=8，且a(0)=2, a(1)=3, a(2)=5, a(3)=8, a(4)=37, a(5)=45, a(6)=82, a(7)=127。
接下来需要利用这个递推关系来计算数列的第n项。
首先，我们可以将递推关系转化为矩阵形式：
| a(n) | | 2 0 0 0 3 -7 4 -2 | | a(n-4) |
| a(n-1) | | 1 0 0 0 0 3 -74 | | a(n-5) |
| a(n-2) | = | 0 1 0 0 0 03 -7 | * | a(n-6) |
| a(n-3) | | 0 0 1 0 0 003 | | a(n-7) |
| a(n-4) | | 0 0 0 1 0 000 | | a(n-8) |
| a(n-5) | | 0 0 0 0 1 000 | | 0 |
| a(n-6) | | 0 0 0 0 0 100 | | 0 |
| a(n-7) | | 0 0 0 0 0 010 | | 0 |
对于任意的n>=8，我们可以通过矩阵乘法来计算a(n)：
| a(n) | | 2 0 0 0 3 -7 4 -2 |^(n-8) | a(0) |
| a(n-1) | | 1 0 0 0 0 3 -7 4 | | a(1) |
| a(n-2) | = | 0 1 0 0 0 0 3 -7 | | a(2) |
| a(n-3) | | 0 0 1 0 0 0 0 3| | a(3) |
| a(n-4) | | 0 0 0 1 0 0 0 0| | a(4) |
| a(n-5) | | 0 0 0 0 1 0 0 0| | a(5) |
| a(n-6) | | 0 0 0 0 0 1 0 0| | a(6) |
| a(n-7) | | 0 0 0 0 0 0 1 0| | a(7) |
这个矩阵的n-8次方可以使用矩阵快速幂算法来计算，时间复杂度为O(log n)。因此，总时间复杂度为O(log n)。
综上所述，数列的通项公式为：
a(n) = * M^(n-8)
其中M是递推关系对应的矩阵，用于计算矩阵的n-8次方。
可以使用数学归纳法来证明递推关系的正确性
nyy 发表于 2023-5-15 11:44
代码写出来了，但是求解结果不很满意
\[\text{DifferenceRoot}[\{%unicode{f818},%unicode{f80d}\ ...
{2,3,5,8,37,45,82,127,590,717,1307,2024,9403,11427,20830,32257,149858,182115,331973,514088}
Numerator, 20]]
谢谢Treenewbee！ OEIS落后了。 谢谢Treenewbee！
Table\(\bigg[\)CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\D\frac{1}{1 - x^n - x^{2n}}, {x, 0, 24 n}\bigg], x\bigg], {n, 1, 4}\bigg]\)
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025},
{1, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 5, 0, 8, 0, 13, 0, 21, 0, 34, 0, 55, 0, 89, 0, 144, 0, 233, 0, 377, 0, 610, 0, 987, 0, 1597, 0, 2584, 0, 4181, 0, 6765, 0, 10946, 0, 17711, 0, 28657, 0, 46368, 0, 75025},
{1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 5, 0, 0, 8, 0, 0, 13, 0, 0, 21, 0, 0, 34, 0, 0, 55, 0, 0, 89, 0, 0, 144, 0, 0, 233, 0, 0, 377, 0, 0, 610, 0, 0, 987, 0, 0, 1597, 0, 0, 2584, 0, 0, 4181, 0, 0, ......
{1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 13, 0, 0, 0, 21, 0, 0, 0, 34, 0, 0, 0, 55, 0, 0, 0, 89, 0, 0, 0, 144, 0, 0, 0, 233, 0, 0, 0, 377, 0, 0, 0, 610, 0, 0, 0, 987, ........
Solve[{x^2 + x*y - y^2 == 1, 30000 > x}, {x, y}, PositiveIntegers]
{{x -> 1,y -> 1}, {x -> 2,y -> 3}, {x -> 5,y -> 8}, {x -> 13,y -> 21}, {x -> 34,y -> 55}, {x -> 89,y -> 144}, {x -> 233,
y -> 377}, {x -> 610, y -> 987}, {x -> 1597, y -> 2584}, {x -> 4181, y -> 6765}, {x -> 10946, y -> 17711}, {x -> 28657, y -> 46368}}
本帖最后由 northwolves 于 2023-6-18 12:42 编辑
王守恩 发表于 2023-6-18 10:58
{{x -> 1,y -> 1}, {x -> 2,y -> 3}, {x -> 5,y -> 8}, {x -> 13,y -> 21}, {x -> 34,y -> 55} ...
$x= \frac{1}{2} \left(\sqrt{5 y^2+4}-y\right)$
$y=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5 x^2-4}+x\right)$
Select] &]
{1,3,8,21,55,144,377,987,2584,6765,17711,46368}
northwolves 发表于 2023-6-18 12:13
{1,3,8,21,55,144,377,987,2584,6765,17711,46368}
a(04)=1, 1+1+1+1,
a(06)=1, 1+1+1+3,
a(08)=2, 1+1+1+5=1+1+3+3,
a(10)=3, 1+1+1+7=1+1+3+5=1+3+3+3,
a(12)=5, 1+1+1+9=1+1+3+7=1+1+5+5=1+3+3+5=3+3+3+3,
a(14)=6, 1+1+1+11=1+1+3+9=1+1+5+7=1+3+3+7=1+3+5+5=3+3+3+5,
a(16)=9, 1+1+1+13=1+1+3+11=1+1+5+9=1+1+7+7=1+3+3+9=1+3+5+7=1+5+5+5=3+3+3+7=3+3+5+5,
得到这样一串数: 1,1,2,3,5,6,11,15,18,23,27,34,......(1)
a(04)=1, 1+1+1+1,
a(07)=1, 1+1+1+4,
a(10)=2, 1+1+1+7=1+1+4+4,
a(13)=3, 1+1+1+10=1+1+4+7=1+4+4+4,
a(16)=5, 1+1+1+13=1+1+4+10=1+1+7+7=1+4+4+7=4+4+4+4,
a(19)=6, 1+1+1+16=1+1+4+13=1+1+7+10=1+4+4+10=1+4+7+7=4+4+4+7,
a(22)=9, 1+1+1+19=1+1+4+16=1+1+7+13=1+1+10+10=1+4+4+13=1+4+7+10=1+7+7+7=4+4+4+10=4+4+7+7,
得到这样一串数: 1,1,2,3,5,6,11,15,18,23,27,34,......(2)
a(04)=1, 1+1+1+1,
a(08)=1, 1+1+1+5,
a(12)=2, 1+1+1+9=1+1+5+5,
a(16)=3, 1+1+1+13=1+1+5+9=1+5+5+5,
a(20)=5, 1+1+1+17=1+1+5+13=1+1+9+9=1+5+5+9=5+5+5+5,
a(24)=6, 1+1+1+21=1+1+5+17=1+1+9+13=1+5+5+13=1+5+9+9=5+5+5+9,
a(28)=9, 1+1+1+25=1+1+5+21=1+1+9+17=1+1+13+13=1+5+5+17=1+5+9+13=1+9+9+9=5+5+5+13=5+5+9+9,
得到这样一串数: 1,1,2,3,5,6,11,15,18,23,27,34,......(3)
(1),(2),(3)可有通项公式？(1),(2),(3)可以是同一串数？
本帖最后由 northwolves 于 2023-6-19 18:35 编辑
Array &, 50]
{1,1,2,3,5,6,9,11,15,18,23,27,34,39,47,54,64,72,84,94,108,120,136,150,169,185,206,225,249,270,297,321,351,378,411,441,478,511,551,588,632,672,720,764,816,864,920,972,1033,1089,1154}
或者
CoefficientList, {x, 0, 49}], x]