过三角形内一点与三角形两个顶点作圆，求半径之和的最小值

mathe · 发表于 2019-2-3 21:53:09

试验了各种不同情况下都应该正好两个
唯一例外是正三角形，方程还是仅两组解，但是几何形式其中一个对应外接圆上任意点

lsr314 · 发表于 2019-2-4 08:49:13

当P在三角形的高线上时，Q刚好是P关于对应边的对称点。

mathe · 发表于 2019-2-4 09:00:08

给定平面上一个三角形ABC,对于平面上任意一个点P(P不在三角形边上），分别做三角形P关于BC,CA,AB的对称点$P_1,P_2,P_3$,那么三角形$BCP_1,CAP_2,ABP_3$的外接圆交于一点Q,这种方式确定了一个P->Q的一一对映关系，请问这是一种什么样的对应关系？猜测很可能就是对合变换

lsr314 · 发表于 2019-2-4 09:27:26

本帖最后由 lsr314 于 2019-2-4 09:40 编辑

mathe 发表于 2019-2-4 09:00
给定平面上一个三角形ABC,对于平面上任意一个点P(P不在三角形边上），分别做三角形P关于BC,CA,AB的对称点$P ...

对，应该是对合变换，很神奇啊，不知道有没有人研究过。
和外接圆和对称点有关的定理，我只能想到清宫定理了。

lsr314 · 发表于 2019-2-4 10:32:38

本帖最后由 lsr314 于 2019-2-4 10:39 编辑

如图，三个外接圆有一条公共弦。

mathe · 发表于 2019-2-4 10:33:32

lsr314 发表于 2019-2-4 09:27
对，应该是对合变换，很神奇啊，不知道有没有人研究过。
和外接圆和对称点有关的定理，我只能想到清宫 ...

用几何画板做了个特殊情况的P->Q轨迹，结果证明不是对合变换，因为直线被变换为奇怪的曲线了。

mathe · 发表于 2019-2-4 11:09:55

lsr的三个三角形是什么关系？

lsr314 · 发表于 2019-2-4 11:38:06

mathe 发表于 2019-2-4 11:09
lsr的三个三角形是什么关系？

原三角形的外接圆，点P的三个对称点的外接圆，点Q的三个对称点的外接圆

hujunhua · 发表于 2019-2-5 14:06:27

mathe 发表于 2019-2-4 09:00
给定平面上一个三角形ABC,对于平面上任意一个点P(P不在三角形边上），分别做三角形P关于BC,CA,AB的对称点$P ...

5#说P为垂心时三个半径相等且正好是原三角形外径。因为垂心关于三角形三边的镜像点都在三角形的外接圆上。
所以，这样定义的对合变换下，垂心与外接圆对合。

mathe · 发表于 2019-2-5 14:40:04

选择P为平面上一点，其关于三边对称点$P_1,P_2,P_3$，过$P_1,P_2,P_3$三点的圆为圆R,那么P->圆心R会将三角形内部的点一一映射三角形内部的点，
而且会把直线映射为经过三角形顶点的双曲线。

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