数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
楼主: lsr314

[讨论] 过三角形内一点与三角形两个顶点作圆,求半径之和的最小值

[复制链接]
发表于 2019-2-3 21:53:09 来自手机 | 显示全部楼层
试验了各种不同情况下都应该正好两个
唯一例外是正三角形,方程还是仅两组解,但是几何形式其中一个对应外接圆上任意点
Screenshot_20190203-214936.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-4 08:49:13 | 显示全部楼层
当P在三角形的高线上时,Q刚好是P关于对应边的对称点。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-4 09:00:08 | 显示全部楼层
给定平面上一个三角形ABC,对于平面上任意一个点P(P不在三角形边上),分别做三角形P关于BC,CA,AB的对称点$P_1,P_2,P_3$,那么三角形$BCP_1,CAP_2,ABP_3$的外接圆交于一点Q,这种方式确定了一个P->Q的一一对映关系,请问这是一种什么样的对应关系?猜测很可能就是对合变换
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-4 09:27:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2019-2-4 09:40 编辑
mathe 发表于 2019-2-4 09:00
给定平面上一个三角形ABC,对于平面上任意一个点P(P不在三角形边上),分别做三角形P关于BC,CA,AB的对称点$P ...


对,应该是对合变换,很神奇啊,不知道有没有人研究过。
和外接圆和对称点有关的定理,我只能想到清宫定理了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-4 10:32:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2019-2-4 10:39 编辑

如图,三个外接圆有一条公共弦。
C19F937D-1936-4ACB-A278-D9333CED523C.jpeg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-4 10:33:32 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2019-2-4 09:27
对,应该是对合变换,很神奇啊,不知道有没有人研究过。
和外接圆和对称点有关的定理,我只能想到清宫 ...

用几何画板做了个特殊情况的P->Q轨迹,结果证明不是对合变换,因为直线被变换为奇怪的曲线了。
cfb.png

点评

我本来以为应该是射影几何里面的对合关系,会把直线映射为直线。这种非线性关系会在三角线顶点或边上出现极点或不光滑等问题  发表于 2019-2-4 11:08
这个没有关系的啊,只要P→Q→P就是对合变换,轨迹不一定都是直线  发表于 2019-2-4 10:52
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-4 11:09:55 来自手机 | 显示全部楼层
lsr的三个三角形是什么关系?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-4 11:38:06 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-2-4 11:09
lsr的三个三角形是什么关系?

原三角形的外接圆,点P的三个对称点的外接圆,点Q的三个对称点的外接圆

点评

P与Q的三个对称点共圆,Q与P的三个对称点共圆  发表于 2019-2-4 15:02
PQQP  发表于 2019-2-4 15:02
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-5 14:06:27 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-2-4 09:00
给定平面上一个三角形ABC,对于平面上任意一个点P(P不在三角形边上),分别做三角形P关于BC,CA,AB的对称点$P ...

5#说P为垂心时三个半径相等且正好是原三角形外径。因为垂心关于三角形三边的镜像点都在三角形的外接圆上。
所以,这样定义的对合变换下,垂心与外接圆对合。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-5 14:40:04 | 显示全部楼层
选择P为平面上一点,其关于三边对称点$P_1,P_2,P_3$,过$P_1,P_2,P_3$三点的圆为圆R,那么P->圆心R会将三角形内部的点一一映射三角形内部的点,
而且会把直线映射为经过三角形顶点的双曲线。
cfb.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-2-17 18:40 , Processed in 0.052200 second(s), 18 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表