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楼主: lsr314

[讨论] 过三角形内一点与三角形两个顶点作圆,求半径之和的最小值

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发表于 2019-2-5 20:23:12 | 显示全部楼层
节前也因这个主题注意到了映射:四点形PABC→四点形PP1P2P3

因为一个明显的迭代循环,我的焦点落在了四点形中P与三点形的关系上。
这个迭代循环是:垂心→内心→外心→垂心。即P是ABC的垂心(内心,外心)时,也是P1P2P3的内心(外心,垂心)。

我想知道重心是否也有迭代循环,作图的结果是肯定的,并且周期也是3。只是还没仔细研究,不知道重心循环中的其他两个是三角形的什么中心。
又试了一下等角中心(费马点),作图发现还是周期为3的循环。同样不知道循环中的其它两点是什么中心。
垂心循环中,经过周期3得到的是位似形,位似中心即点P,位似比不定。
重心循环和等角中心循环中一般不是位似形。猜想是相似形,作图验证正确。

于是猜想对任意点P,都存在周期为3的迭代循环。即经过3次迭代,必得到与原来相似的四点形。
作图验证猜想是正确的。

点评

这个P1,P2,P3还可以用P到三边的投影替换,不改变形状  发表于 2019-2-5 21:40
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-5 20:36:34 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-2-5 14:40
选择P为平面上一点,其关于三边对称点$P_1,P_2,P_3$,过$P_1,P_2,P_3$三点的圆为圆R,那么P->圆心R会将三角 ...

这个映射有点意思。
边上的点被映射到相对的顶点,故由映射的连续性可知三角形内的点是映射到三角形内的。

由楼上的垂心循环可知,此处映射的不动点为三角形ABC的内心。
易知不动直线为三角形的角平分线。
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发表于 2019-2-5 21:29:02 | 显示全部楼层
以P为原点,设向量\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}\)
设P在AB点上投影为\(u\overrightarrow{a}+(1-u)\overrightarrow{b}\),于是
\((u\overrightarrow{a}+(1-u)\overrightarrow{b})(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0\)
所以\(|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=u(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
所以\(u=\frac{|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\)
所以投影点为\(\frac{|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{a}+\frac{|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{b}\)
于是\(\overrightarrow{PP_3}=2(\frac{|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{a}+\frac{|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{b})\)
或者
\(\overrightarrow{PP_3}=2\frac{(|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\overrightarrow{a}+(|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}}{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2}\)
这个计算过程迭代三次有点太复杂
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发表于 2019-2-5 22:11:42 | 显示全部楼层
试着对于四边形使用hujunhua的发现,结果好像一样成立
cz.png
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发表于 2019-2-5 23:22:39 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-2-5 22:11
试着对于四边形使用hujunhua的发现,结果好像一样成立


你这个迭代循环的周期为4啊。
也许五边形的迭代循环周期为5,六边形的为6,……?

试了一个五边形,作图验证了迭代循环的周期为5。
这就更有意思了。
mathe 在33#那样的计算方法,3次迭代都嫌计算量大,再往高次怕是更行不通了。
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发表于 2019-2-6 11:15:57 | 显示全部楼层
这个可以扩张到更多点也成立,数值计算可以验证
  1. innerprod(a,b)=
  2. {
  3.    local(s);
  4.    s=0;
  5.    for(u=1,length(a),
  6.        s+=a[u]*b[u]
  7.    );
  8.    s
  9. }

  10. perpvec(a,b)=
  11. {
  12.     local(u);
  13.     u=innerprod(b,b)-innerprod(a,b);
  14.     u/=innerprod(a-b,a-b);
  15.     u*a+(1-u)*b
  16. }

  17. perprotate(m)=
  18. {
  19.     local(n,r);
  20.     n=length(m[,1]);
  21.     r=matrix(n,length(m[1,]));
  22.     for(u=1,n-1,
  23.         r[u,]=perpvec(m[u,],m[u+1,])
  24.     );
  25.     r[n,]=perpvec(m[n,],m[1,]);
  26.     r
  27. }

  28. granm(n,m)=
  29. {
  30.     local(r);
  31.     r=matrix(n,m);
  32.     for(u=1,n,
  33.         for(v=1,m,
  34.              r[u,v]=2*random(1.0)-1.0;
  35.         )
  36.    );
  37.    r
  38. }

  39. plen(m)=
  40. {
  41.     local(n,r);
  42.     n=length(m[,1]);
  43.     r=vector(n);
  44.     for(u=1,n,
  45.          r[u]=sqrt(innerprod(m[u,],m[u,]))
  46.     );
  47.     r
  48. }

  49. pangle(m)=
  50. {
  51.     local(n,r,x);
  52.     n=length(m[,1]);
  53.     r=vector(n);
  54.     x=plen(m);
  55.     for(u=1,n-1,
  56.          r[u]=innerprod(m[u,],m[u+1,])/(x[u]*x[u+1])
  57.     );
  58.     r[n]=innerprod(m[n,],m[1,])/(x[n]*x[1]);
  59.     r
  60. }
复制代码


比如上面pari/gp代码,然后调用
(11:12) gp > m=granm(10,2);
(11:12) gp > h=m;
(11:12) gp > for(u=1,10,h=perprotate(h))
(11:12) gp > pangle(m)
%58 = [0.13094390757425572586897330693922760638, 0.27478457799382083099586956163919994750, -0.83403509336655614549647414732045555854, 0.59735297479132672647706922853304549911, -0.52632380321904226169862901627243144170, -0.80511734034786098563793583703215670988, -0.38438818934646934888818443410206486840, -0.99130533701336277684115213150606694557, 0.41861095048399809858695131599839686302, -0.066203186117102511991044546302214391115]
(11:13) gp > pangle(h)
%59 = [0.13094390757425572586897330693922760656, 0.27478457799382083099586956163919994285, -0.83403509336655614549647414732045555834, 0.59735297479132672647706922853304549645, -0.52632380321904226169862901627243144215, -0.80511734034786098563793583703215671111, -0.38438818934646934888818443410206487575, -0.99130533701336277684115213150606694557, 0.41861095048399809858695131599839686347, -0.066203186117102511991044546302214393602]
可以验证10个平面点也满足条件(取P为原点)。
但是如果扩展到三维就不成立了
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发表于 2019-2-6 11:25:37 | 显示全部楼层
对于一条光滑的闭曲线C,从平面上一点P向曲线C的切线作投影,切线动一周生成投影的轨迹C1,称为曲线C对点P的投影曲线。
接着再作C1对点P的投影曲线。
为了无穷迭代不发散到无穷远或退化到点P,我们将投影曲线以P为中心作一个位似变换,使所得像曲线的周长或面积保持不变,始终等于C的周长或面积。
那么无穷迭代会收敛到一个与C全等的曲线吗?

点评

这个对作图的挑战挺大的。做轨迹图的切线,Geogebra好像失效了  发表于 2019-2-6 14:30
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 楼主| 发表于 2019-2-6 12:52:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2019-2-6 12:59 编辑
hujunhua 发表于 2019-2-6 11:25
对于一条光滑的闭曲线C,从平面上一点P向曲线C的切线作投影,切线动一周生成投影的轨迹C1,称为曲线C对点P ...

对椭圆似乎不成立,第一次的轨迹是一条心形曲线,不是凸曲线。


8369C521-DD68-47CF-B5F9-8CF3A499DA2D.jpeg

点评

P是一个焦点的时候,轨迹刚好是一个圆  发表于 2019-2-6 15:43
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 楼主| 发表于 2019-2-6 13:06:35 | 显示全部楼层
点P(图中的D)在外面的时候,轨迹有点像大白



9A01D6CA-C27B-453E-8321-3BAA374D94C7.jpeg

点评

恩,不过那样就复杂了  发表于 2019-2-6 18:50
建立坐标系用Mathematica画出迭代的曲线来应该是可以实现的。  发表于 2019-2-6 14:38
轨迹图应该做不了切线,软件识别不了轨迹是什么曲线。  发表于 2019-2-6 14:36
几何画板 能做轨迹图的 切线吗  发表于 2019-2-6 14:31
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发表于 2019-2-6 14:29:32 | 显示全部楼层
再加上这种形状:
Screenshot from 2019-02-06 14-29-06.png
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