过三角形内一点与三角形两个顶点作圆，求半径之和的最小值

hujunhua

节前也因这个主题注意到了映射：四点形PABC→四点形PP1P2P3

因为一个明显的迭代循环，我的焦点落在了四点形中P与三点形的关系上。
这个迭代循环是：垂心→内心→外心→垂心。即P是ABC的垂心（内心，外心）时，也是P1P2P3的内心（外心，垂心）。

我想知道重心是否也有迭代循环，作图的结果是肯定的，并且周期也是3。只是还没仔细研究，不知道重心循环中的其他两个是三角形的什么中心。
又试了一下等角中心（费马点），作图发现还是周期为3的循环。同样不知道循环中的其它两点是什么中心。
垂心循环中，经过周期3得到的是位似形，位似中心即点P，位似比不定。
重心循环和等角中心循环中一般不是位似形。猜想是相似形，作图验证正确。

于是猜想对任意点P，都存在周期为3的迭代循环。即经过3次迭代，必得到与原来相似的四点形。
作图验证猜想是正确的。

hujunhua

mathe 发表于 2019-2-5 14:40
选择P为平面上一点，其关于三边对称点$P_1,P_2,P_3$，过$P_1,P_2,P_3$三点的圆为圆R,那么P->圆心R会将三角 ...

这个映射有点意思。
边上的点被映射到相对的顶点，故由映射的连续性可知三角形内的点是映射到三角形内的。

由楼上的垂心循环可知，此处映射的不动点为三角形ABC的内心。
易知不动直线为三角形的角平分线。

mathe

以P为原点，设向量\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}\)
设P在AB点上投影为\(u\overrightarrow{a}+(1-u)\overrightarrow{b}\),于是
\((u\overrightarrow{a}+(1-u)\overrightarrow{b})(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0\)
所以\(|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=u(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
所以\(u=\frac{|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\)
所以投影点为\(\frac{|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{a}+\frac{|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{b}\)
于是\(\overrightarrow{PP_3}=2(\frac{|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{a}+\frac{|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{b})\)
或者
\(\overrightarrow{PP_3}=2\frac{(|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\overrightarrow{a}+(|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}}{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2}\)
这个计算过程迭代三次有点太复杂

mathe

试着对于四边形使用hujunhua的发现，结果好像一样成立

hujunhua

mathe 发表于 2019-2-5 22:11
试着对于四边形使用hujunhua的发现，结果好像一样成立

你这个迭代循环的周期为4啊。
也许五边形的迭代循环周期为5，六边形的为6，……？

试了一个五边形，作图验证了迭代循环的周期为5。
这就更有意思了。
mathe 在33#那样的计算方法，3次迭代都嫌计算量大，再往高次怕是更行不通了。

mathe

这个可以扩张到更多点也成立，数值计算可以验证

1. innerprod(a,b)=
   
2. {
   
3.    local(s);
   
4.    s=0;
   
5.    for(u=1,length(a),
   
6.        s+=a[u]*b[u]
   
7.    );
   
8.    s
   
9. }
   
10. 
    
11. perpvec(a,b)=
    
12. {
    
13.     local(u);
    
14.     u=innerprod(b,b)-innerprod(a,b);
    
15.     u/=innerprod(a-b,a-b);
    
16.     u*a+(1-u)*b
    
17. }
    
18. 
    
19. perprotate(m)=
    
20. {
    
21.     local(n,r);
    
22.     n=length(m[,1]);
    
23.     r=matrix(n,length(m[1,]));
    
24.     for(u=1,n-1,
    
25.         r[u,]=perpvec(m[u,],m[u+1,])
    
26.     );
    
27.     r[n,]=perpvec(m[n,],m[1,]);
    
28.     r
    
29. }
    
30. 
    
31. granm(n,m)=
    
32. {
    
33.     local(r);
    
34.     r=matrix(n,m);
    
35.     for(u=1,n,
    
36.         for(v=1,m,
    
37.              r[u,v]=2*random(1.0)-1.0;
    
38.         )
    
39.    );
    
40.    r
    
41. }
    
42. 
    
43. plen(m)=
    
44. {
    
45.     local(n,r);
    
46.     n=length(m[,1]);
    
47.     r=vector(n);
    
48.     for(u=1,n,
    
49.          r[u]=sqrt(innerprod(m[u,],m[u,]))
    
50.     );
    
51.     r
    
52. }
    
53. 
    
54. pangle(m)=
    
55. {
    
56.     local(n,r,x);
    
57.     n=length(m[,1]);
    
58.     r=vector(n);
    
59.     x=plen(m);
    
60.     for(u=1,n-1,
    
61.          r[u]=innerprod(m[u,],m[u+1,])/(x[u]*x[u+1])
    
62.     );
    
63.     r[n]=innerprod(m[n,],m[1,])/(x[n]*x[1]);
    
64.     r
    
65. }

复制代码

比如上面pari/gp代码，然后调用
(11:12) gp > m=granm(10,2);
(11:12) gp > h=m;
(11:12) gp > for(u=1,10,h=perprotate(h))
(11:12) gp > pangle(m)
%58 = [0.13094390757425572586897330693922760638, 0.27478457799382083099586956163919994750, -0.83403509336655614549647414732045555854, 0.59735297479132672647706922853304549911, -0.52632380321904226169862901627243144170, -0.80511734034786098563793583703215670988, -0.38438818934646934888818443410206486840, -0.99130533701336277684115213150606694557, 0.41861095048399809858695131599839686302, -0.066203186117102511991044546302214391115]
(11:13) gp > pangle(h)
%59 = [0.13094390757425572586897330693922760656, 0.27478457799382083099586956163919994285, -0.83403509336655614549647414732045555834, 0.59735297479132672647706922853304549645, -0.52632380321904226169862901627243144215, -0.80511734034786098563793583703215671111, -0.38438818934646934888818443410206487575, -0.99130533701336277684115213150606694557, 0.41861095048399809858695131599839686347, -0.066203186117102511991044546302214393602]
可以验证10个平面点也满足条件（取P为原点）。
但是如果扩展到三维就不成立了

hujunhua

对于一条光滑的闭曲线C，从平面上一点P向曲线C的切线作投影，切线动一周生成投影的轨迹C1，称为曲线C对点P的投影曲线。
接着再作C1对点P的投影曲线。
为了无穷迭代不发散到无穷远或退化到点P，我们将投影曲线以P为中心作一个位似变换，使所得像曲线的周长或面积保持不变，始终等于C的周长或面积。
那么无穷迭代会收敛到一个与C全等的曲线吗？

lsr314

hujunhua 发表于 2019-2-6 11:25
对于一条光滑的闭曲线C，从平面上一点P向曲线C的切线作投影，切线动一周生成投影的轨迹C1，称为曲线C对点P ...

对椭圆似乎不成立，第一次的轨迹是一条心形曲线，不是凸曲线。

lsr314

点P（图中的D）在外面的时候，轨迹有点像大白

wayne

再加上这种形状：