过三角形内一点与三角形两个顶点作圆，求半径之和的最小值

lsr314

如图，三条切线长（虚线）相等的时候，三个圆的半径之和取得最小值。

lsr314

三角形的三条边所在的直线将平面分为7个区域，每一个区域内都有一个极小值，所以解满足一个七次方程，那么，是否最小值总是在三角形内部取得呢?
如果不是，临界情况是什么？特别地，有没有可能最小值在外接圆上取得（此时三个圆重合）？

mathe

lsr314 发表于 2019-1-31 13:51
三角形的三条边所在的直线将平面分为7个区域，每一个区域内都有一个极小值，所以解满足一个七次方程，那么 ...

如果在三角形外部，对应角度关系为$z=x+y$
那么查看关系式${1-cos^2(x)}/{cos(x)} :  {1-cos^2(y)}/{cos(y)} : {1-cos^2(z)}/{cos(z)}  = a : b : c$
那么显然要求${1-cos^2(x)}/{cos(x)}, {1-cos^2(y)}/{cos(y)} ,{1-cos^2(z)}/{cos(z)}$三者同号
显然在$z=x+y$的约束下，x,y至少有一个小于$pi/2$,不妨设$0<x<pi/2$,于是${1-cos^2(x)}/{cos(x)}>0$
于是${1-cos^2(y)}/{cos(y)}>0,{1-cos^2(z)}/{cos(z)}>0$
所以这要求$0<z=x+y<pi/2$才有可能。
制作函数$f(x)={1-cos^2(x)}/{cos(x)}$在$(0,pi/2)$的图可以看出这是一个下凸单调增函数，其导函数应该严格递增
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%5E2(x)%2Fcos(x)
也就是说$f'(z)>f'(y)>0,f'(z)>f'(x)>0$，
从图中，我们应该可以猜测出这个函数会有性质$f(x+y)>f(x)+f(y)$
由此，如果外部存在P点使得$z=x+y$,那么必然会要求$c>b+a$,这个不符合三角形的三边关系。
所以三角形外部没有极值点。

而上面的图像性质可以通过计算来证明
经计算可知$f'(x)=sin(x)+tan(x)sec(x),f''(x)=cos(x)+sec^3(x)+tan^2(x)sec(x)$
所以在$0<x<pi/2$时必然有$f'(x)>0,f''(x)>0$，函数下凸，而且$f(0)=0$
所有对于$x>0,y>0,x>=y,z=x+y<pi/2$
那么必然有$f(z)>f(x)+(z-x)f'(x)>=f(x)+(y-0)f'(y)>f(x)+f(y)-f(0)=f(x)+f(y)$

lsr314

mathe 发表于 2019-1-31 16:43
如果在三角形外部，对应角度关系为$z=x+y$
那么查看关系式${1-cos^2(x)}/{cos(x)} :  {1-cos^2(y)}/{c ...

在外部的时候，取极值的条件是$(a cosx)/sin^2x=(b cosy)/sin^2y=-(c cosz)/sin^2z$,所以应该是$0<x,y< pi/2,z=x+y> pi/2.$
定性地分析，点P接近三条边所在的直线时，有一个圆半径趋于无限大，点P与三角形距离很远时，三个圆的半径都很大，所以在每个区域都有极小值。
如图，夹在两条射线之间并且在三角形外部的这个区域对应的极值点P落在深色区域，而外接圆是穿过这个深色区域的。

lsr314

有一个问题，当点P不是沿着边的方向靠近顶点时，对应的圆的极限半径取决于逼近顶点的路径。这样在某些区域的极值点可能就是三角形对应区域内的顶点，而顶点放在整个平面上看可能不是极值点。
特别是三角形某个内角如果是锐角，那么它的对顶角对应的区域（不含边界的部分），是不存在极值点的。
而一个三角形最多只有一个内角是钝角，所以最多有5个极值点。

mathe

的确是的，如果存在钝角时，钝角那侧还会多一个极值点，而且很可能是全局极值点。
由于三角形内部必然存在一个唯一的$P_0$点，满足方程${a\cos(x_0)}/{sin^2(x_0)}={b\cos(y_0)}/{sin^2(y_0)}={c\cos(z_0)}/{sin^2(z_0)}$而且$x_0+y_0+z_0=2\pi$,其中$pi/2<x_0<pi,pi/2<y_0<pi,pi/2<z_0<pi$
我们选择$P_1$点，使得$x_1=pi-x_0,y_1=pi-y_0,z_1=z_0$,于是$x_1+y_1=z_1$,而且满足方程${a\cos(x_1)}/{sin^2(x_1)}={b\cos(y_1)}/{sin^2(y_1)}=-{c\cos(z_1)}/{sin^2(z_1)}$，同样我们可以得出$P_2,P_3$。
从图像上看，$P_1,P_2,P_3$分别为$P_0$时对应三个圆关于各自的边的对称图形的交点。

mathe

比较有意思的是上面四个极值点中三个圆的半径之和都相等。
而我们另外分析过如果三角形一个角是比较大的钝角时，钝角那侧三角形外部还会出现一个极值点，但是这时总共还是只有四个极值点，只是三角形内部的极值点跑到外部去了。
比如我们选择三角形三边长度分别为5,5,9，同样使用前面公式计算可以得知h有唯一实数解
h=-0.24855704711080550767183431584936828387
得出
u=v=-0.55594708911635773652783798763298602680
w=-0.38184566820609717835179976754753014669
于是P点对三边所张的角度分别为112.44805454149293888465301630172939135°和123.77597272925353055767349184913530433°。
由于三角形本身的钝角为128.31613447366574252966092148097994122°大于上面的角，我们知道三角形内部时不存在这样的点的。
但是满足$P_1,P_2,P_3$条件的点还是存在的，而其中$P_1$关于c边的对称点就是$P_0$这时的情况，但是这时对三边所张的角

mathe

$P_0$从三角形内部变换到外部的边界条件好像是
c^16 + (-7*b^2 - 7*a^2)*c^14 + (21*b^4 + 49*a^2*b^2 + 21*a^4)*c^12 + (-35*b^6 - 139*a^2*b^4 - 139*a^4*b^2 - 35*a^6)*c^10 + (35*b^8 + 205*a^2*b^6 + 362*a^4*b^4 + 205*a^6*b^2 + 35*a^8)*c^8 + (-21*b^10 - 165*a^2*b^8 - 462*a^4*b^6 - 462*a^6*b^4 - 165*a^8*b^2 - 21*a^10)*c^6 + (7*b^12 + 67*a^2*b^10 + 289*a^4*b^8 + 458*a^6*b^6 + 289*a^8*b^4 + 67*a^10*b^2 + 7*a^12)*c^4 + (-b^14 - 9*a^2*b^12 - 71*a^4*b^10 - 175*a^6*b^8 - 175*a^8*b^6 - 71*a^10*b^4 - 9*a^12*b^2 - a^14)*c^2 + (-a^2*b^14 + 9*a^6*b^10 - 16*a^8*b^8 + 9*a^10*b^6 - a^14*b^2)=0
这个条件也很复杂，特别的a=b时，条件变成
c^16 - 14*a^2*c^14 + 91*a^4*c^12 - 348*a^6*c^10 + 842*a^8*c^8 - 1296*a^10*c^6 + 1184*a^12*c^4 - 512*a^14*c^2=0
在a=b=1时，得出c=1.6712918672309108116400324722046009792,或者说c满足方程c^6 - 8*c^4 + 26*c^2 - 32=0
对应这个等腰三角形的顶角为钝角113.36631447849125805882333189902549881°。

mathe

试着作图，结果发现，满足条件的总共就只有两个解而不是四个解，内部一个，外部也一个

如果给定三角形ABC内部的点P0,那么我们可以作出三个绿色圆，它们各自关于对应的边的对称可以得出三个蓝色圆。
而三个圆的交点除了三角形三个顶点就只有两个点了（图上P0,P1)。
这说明虽然我们发现每条边外侧都有半径和先变小再变大的过程，但是不是所有区域都有极小值，其中有两个区域最小值是在边界上的，所以另一个区域可以有更小值

mathe

另外如果我们选择三角形ABC为等腰三角形，其中AC=BC,设最优点P0对边BC的张角为w,那么做出C-w图后，惊奇的发现这竟然是减函数而不是增函数

图中以角度为单位。
在角C趋向0度时，w会剧烈趋向180度，但是在角C趋向180度时，w会有一个极限角度111.16795543407148897243102385051624736°。