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楼主: lsr314

[讨论] 过三角形内一点与三角形两个顶点作圆,求半径之和的最小值

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发表于 2019-2-6 22:18:51 来自手机 | 显示全部楼层
35#的结论可证了。大致情况是这样的:
P在多边形内部时,P和各顶点连线把初始多边形的相应内角分为两部分,这2n个角度集合记为S。
不同阶段的迭代多边形,各顶点与P的连线亦将该多边形的各内角分为两部分,相应2n个角度的集合不变,仍然为S,只是两两组合不同,并有简单的规律:均分两组循环相配。
n个符号的简单循环,周期自然是n.

如31#的评论所言,P于多边形各边的镜像点可以由P点在各边上的投影来代替,这只不过将诸镜像点构成的多边形以P为位似中心缩小了一半。
引理:如图,P为角ABC内一点,E、F为P在两边上的投影( `\theta=\pi/2`),显然B、E、P、F四点共圆,故有图中标示的两组等角B1和B2(角B的两部分)。

对于一个凸多边`V_1V_2...V_i...V_n`, 假定其内角`\angle V_i`被连线`PV_i`分为`V_{i,1}+V_{i,2}`, 假定P在边`V_iV_{i+1}`的投影为`V_i^1`。
记`S_1=\{V_{i,1}\}, S_2=\{V_{i,2}\},S=S_1\cup S_2`
上述下标按`\pmod n`理解。
按引理有:`\angle PV_{i-1}^1V_i^1=V_{i2},\angle PV_i^1V_{i-1}^1=V_{i1},\angle V_{i-1}^1V_i^1V_{i+1}^1=V_{i,1}+V_{i+1,2}`
可见经过一次投影,所得多边形`V_1^1\cdots V_i^1\cdots V_n^1`的内角的分割组合变成了\[\angle V_i^1=V_{i,1}+V_{i+1,2}\]与\[\angle V_i=V_{i,1}+V_{i,2}\]相比仍然是`S_1+S_2`,当把`S_1,S_2`看作有序的表时,按表的运算规则应该是\[S_1+\text{RotationLeft}(S_2)\]
依此类推,`k`次迭代的投影多边形`V_1^k\cdots V_i^k\cdots V_n^k`的内角的分割组合变成了\[\angle V_i^k=V_{i,1}+V_{i+k,2}\]当`k=n`时,内角的分割组合就变回了`\angle V_i^n=V_{i,1}+V_{i,2}`,多边形就变回了初始的形状。
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-7 12:09:18 | 显示全部楼层
显然,楼上的图中的角度`\theta`不等于`\pi/2`时,仍有四点共圆,引理依然成立,后续的证明依然有效。
如图每次射线和边夹角都是60度,同样能够三次映射后得到相似的三角形。
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 6 天前 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-2-6 22:18
35#的结论可证了。大致情况是这样的:
P在多边形内部时,P和各顶点连线把初始多边形的相应内角为两部分, ...

这个引理的成立范围值得关注。

P是否要限于角内,角是否可以超过180度?

即使初始多边形是凸的,只要`S_1,S_2`中各有1个钝角,在循环相配中,就不免中途出现凹多边形,继续下去引理如何成立就是问题。
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发表于 6 天前 来自手机 | 显示全部楼层
数值计算显示没有范围限制,但是严格证明好像挺复杂
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