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楼主: lsr314

[讨论] 过三角形内一点与三角形两个顶点作圆,求半径之和的最小值

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 楼主| 发表于 2019-2-6 13:06:35 | 显示全部楼层
点P(图中的D)在外面的时候,轨迹有点像大白



9A01D6CA-C27B-453E-8321-3BAA374D94C7.jpeg

点评

恩,不过那样就复杂了  发表于 2019-2-6 18:50
建立坐标系用Mathematica画出迭代的曲线来应该是可以实现的。  发表于 2019-2-6 14:38
轨迹图应该做不了切线,软件识别不了轨迹是什么曲线。  发表于 2019-2-6 14:36
几何画板 能做轨迹图的 切线吗  发表于 2019-2-6 14:31
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-6 14:29:32 | 显示全部楼层
再加上这种形状:
Screenshot from 2019-02-06 14-29-06.png
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发表于 2019-2-6 22:18:51 来自手机 | 显示全部楼层
35#的结论可证了。大致情况是这样的:
P在多边形内部时,P和各顶点连线把初始多边形的相应内角分为两部分,这2n个角度集合记为S。
不同阶段的迭代多边形,各顶点与P的连线亦将该多边形的各内角分为两部分,相应2n个角度的集合不变,仍然为S,只是两两组合不同,并有简单的规律:均分两组循环相配。
n个符号的简单循环,周期自然是n.

如31#的评论所言,P于多边形各边的镜像点可以由P点在各边上的投影来代替,这只不过将诸镜像点构成的多边形以P为位似中心缩小了一半。
引理:如图,P为角ABC内一点,E、F为P在两边上的投影( `\theta=\pi/2`),显然B、E、P、F四点共圆,故有图中标示的两组等角B1和B2(角B的两部分)。

对于一个凸多边`V_1V_2...V_i...V_n`, 假定其内角`\angle V_i`被连线`PV_i`分为`V_{i,1}+V_{i,2}`, 假定P在边`V_iV_{i+1}`的投影为`V_i^1`。
记`S_1=\{V_{i,1}\}, S_2=\{V_{i,2}\},S=S_1\cup S_2`
上述下标按`\pmod n`理解。
按引理有:`\angle PV_{i-1}^1V_i^1=V_{i2},\angle PV_i^1V_{i-1}^1=V_{i1},\angle V_{i-1}^1V_i^1V_{i+1}^1=V_{i,1}+V_{i+1,2}`
可见经过一次投影,所得多边形`V_1^1\cdots V_i^1\cdots V_n^1`的内角的分割组合变成了\[\angle V_i^1=V_{i,1}+V_{i+1,2}\]与\[\angle V_i=V_{i,1}+V_{i,2}\]相比仍然是`S_1+S_2`,当把`S_1,S_2`看作有序的表时,按表的运算规则应该是\[S_1+\text{RotationLeft}(S_2)\]
依此类推,`k`次迭代的投影多边形`V_1^k\cdots V_i^k\cdots V_n^k`的内角的分割组合变成了\[\angle V_i^k=V_{i,1}+V_{i+k,2}\]当`k=n`时,内角的分割组合就变回了`\angle V_i^n=V_{i,1}+V_{i,2}`,多边形就变回了初始的形状。
无标题.png
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发表于 2019-2-7 12:09:18 | 显示全部楼层
显然,楼上的图中的角度`\theta`不等于`\pi/2`时,仍有四点共圆,引理依然成立,后续的证明依然有效。
如图每次射线和边夹角都是60度,同样能够三次映射后得到相似的三角形。
cfb.png
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发表于 2019-2-11 10:52:29 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-2-6 22:18
35#的结论可证了。大致情况是这样的:
P在多边形内部时,P和各顶点连线把初始多边形的相应内角为两部分, ...

这个引理的成立范围值得关注。

P是否要限于角内,角是否可以超过180度?

即使初始多边形是凸的,只要`S_1,S_2`中各有1个钝角,在循环相配中,就不免中途出现凹多边形,继续下去引理如何成立就是问题。
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发表于 2019-2-11 12:25:15 来自手机 | 显示全部楼层
数值计算显示没有范围限制,但是严格证明好像挺复杂
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发表于 2019-2-27 16:49:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2019-2-27 17:31 编辑
mathe 发表于 2019-2-1 11:43
试着作图,结果发现,满足条件的总共就只有两个解而不是四个解,内部一个,外部也一个

如果给定三角形AB ...

mathe 17# 计算和分析都正确
          我的演示与他的计算一致,我补充了P2,P3
          可以验证一下我的P0,P1,P2,P3   
19#以前ksr314,mathe的分析很精辟,但19#结论为何变了?         
mathe 19#:试着作图,结果发现,满足条件的总共就只有两个解而不是四个解,内部一个,外部也一个
ksr314 19#点评:好像确实如此,不管三角形形状如何,极值点最多只有2个
设平面上任意一点p={x,y} 对应的三个半径和为 h[x,y]
研究了等边,等腰和任意三角形,这里以mathe circles.png为例再现

画出全平面的地形图,可以直观的了解h的全平面的分布,极小值的个数和h的大小


低高度区细节,发现此三角形C角为大钝角,P0P1极点在外部,P2 P3在外部接近底部,共4个极点

低高度区细节,发现此三角形C角为大钝角,P0P1极点在外部,P2 P3在外部接近底部,共4个极点

全景图,有3条无限高无限长的山脉,7个区域各有1个极点,其中三个极值在三角形顶点,通常排除

全景图,有3条无限高无限长的山脉,7个区域各有1个极点,其中三个极值在三角形顶点,通常排除

截面图,h=900 可以清洗发现5个低高度区,三角形内部向C点倾斜内部没有极点,共有4个极小值

截面图,h=900 可以清洗发现5个低高度区,三角形内部向C点倾斜内部没有极点,共有4个极小值
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发表于 2019-2-28 09:21:41 | 显示全部楼层
25.png
看三边长分别为5,5,8的三角形内一点P,对应三个三角形外接圆直径之和的图。
可以看到的确对于大部分的和会有四个区域(对应四个锥形图),但是最小值不同,我们只看到一大一小两个可以取到最小值。另外两个小的被大的完全包含了
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发表于 2019-2-28 12:09:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2019-2-28 12:31 编辑

下面进行演示和测算
以17#等腰三角形(5:5:9}为例
为了全面演示,图形坐标改变如下
图片 w=1200 h=1200
三角形顶点坐标A:{253.,651.} B:{753.,651.} C:{503.,772.}
P0:{503.,787.} P1:{501.,513.5} (按原图估算)
三角形三边长 a=277.743 b=277.743 c=500. 坐标值放大: 500/9

编制一个人机交互演示工具
采用瞎子登山(此处为探洞)方法容易得到 4个极小值点
P0 原 {503.,787.}   我测 {502,818 }  h=604.782
P1 原 {501.,513.5}  我测 {502,470 }  h=606.047
P2                  我测 {254,662 }  h=736.821
P3                  我测 {754,658 }  h=723.681 在低谷区底部
P0 P1 与Mathe的计算基本相符
我的工具以演示为主,定位误差较大,约4个点, 4/1200= 0.0033
P2 P3 没有参照数据,是否正确?
显然
P0 P1 的 h较小,大致相等,我无法判断哪个大些
P2 P3 的 h较大,大致相等,我无法判断哪个大些   

下面给出 P0P1P2P3的三个圆图像

P0点的3个园,坐标和h

P0点的3个园,坐标和h

P1点的3个园,坐标和h

P1点的3个园,坐标和h

P2点的3个园,坐标和h

P2点的3个园,坐标和h

P3点的3个园,坐标和h

P3点的3个园,坐标和h
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发表于 2019-3-1 09:29:23 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-2-28 09:21
看三边长分别为5,5,8的三角形内一点P,对应三个三角形外接圆直径之和的图。
可以看到的确对于大部分的和 ...

46# 提出 5,5,8的等腰三角形的例子,
我进行了计算和演示,结果和5,5,9相比,基本一样,有4个极小值点,不同的是(558)P0在三角形内部,(559)P0在三角形外部,
等腰558 基本数据:
图片 w=1200 h=1200
三角形顶点坐标A:{300.,650.} B:{700.,650.} C:{500.,800.}
三角形三边长 a=250. b=250. c=400.
三角形外心的3半径和  h=632.44
三角形外接圆上各点半径和  h=625.

测得
P0={498,774} (* h= 519.168 * 在三角形内部)
P1={498,514} (* h= 517.386 *)
P2={298, 658} (* h= 552.598 在三角形外部,靠近A *)
P3={702,658}  (* h= 552.598 在三角形外部,靠近B *)
证实P2 P3确实存在
数据表明:
(559)和(556)两种情况P2 P3的h大于 P0P1的h
如果求全平面的最小值,只能是(P0 ,P1)之一
其它三角形需要再分析.
但等腰三角形极小值确有4个(角C=13.3663...除外),不是2个

为了研究P2,P3的特点,给出相关直观图像





补充内容 (2019-3-2 09:18):
(角C=13.3663...除外) 笔误
应为 (角C=113.3663...除外)

P0 的3园和 x y h

P0 的3园和 x y h

P1 的3园和 x y h

P1 的3园和 x y h

P2 的3园和 x y h

P2 的3园和 x y h

P3 的3园和 x y h

P3 的3园和 x y h
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