mathe 发表于 2019-2-4 09:00
给定平面上一个三角形ABC,对于平面上任意一个点P(P不在三角形边上），分别做三角形P关于BC,CA,AB的对称点$P ...
5#说P为垂心时三个半径相等且正好是原三角形外径。因为垂心关于三角形三边的镜像点都在三角形的外接圆上。
所以，这样定义的对合变换下，垂心与外接圆对合。
选择P为平面上一点，其关于三边对称点$P_1,P_2,P_3$，过$P_1,P_2,P_3$三点的圆为圆R,那么P->圆心R会将三角形内部的点一一映射三角形内部的点，
而且会把直线映射为经过三角形顶点的双曲线。
节前也因这个主题注意到了映射：四点形PABC→四点形PP1P2P3
因为一个明显的迭代循环，我的焦点落在了四点形中P与三点形的关系上。
这个迭代循环是：垂心→内心→外心→垂心。即P是ABC的垂心（内心，外心）时，也是P1P2P3的内心（外心，垂心）。
我想知道重心是否也有迭代循环，作图的结果是肯定的，并且周期也是3。只是还没仔细研究，不知道重心循环中的其他两个是三角形的什么中心。
又试了一下等角中心（费马点），作图发现还是周期为3的循环。同样不知道循环中的其它两点是什么中心。
垂心循环中，经过周期3得到的是位似形，位似中心即点P，位似比不定。
重心循环和等角中心循环中一般不是位似形。猜想是相似形，作图验证正确。
于是猜想对任意点P，都存在周期为3的迭代循环。即经过3次迭代，必得到与原来相似的四点形。
作图验证猜想是正确的。
mathe 发表于 2019-2-5 14:40
选择P为平面上一点，其关于三边对称点$P_1,P_2,P_3$，过$P_1,P_2,P_3$三点的圆为圆R,那么P->圆心R会将三角 ...
这个映射有点意思。
边上的点被映射到相对的顶点，故由映射的连续性可知三角形内的点是映射到三角形内的。
由楼上的垂心循环可知，此处映射的不动点为三角形ABC的内心。
易知不动直线为三角形的角平分线。
以P为原点，设向量\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}\)
设P在AB点上投影为\(u\overrightarrow{a}+(1-u)\overrightarrow{b}\),于是
\((u\overrightarrow{a}+(1-u)\overrightarrow{b})(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0\)
所以\(|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=u(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2)\)
所以\(u=\frac{|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\)
所以投影点为\(\frac{|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{a}+\frac{|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{b}\)
于是\(\overrightarrow{PP_3}=2(\frac{|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{a}+\frac{|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{b})\)
或者
\(\overrightarrow{PP_3}=2\frac{(|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\overrightarrow{a}+(|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}}{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2}\)
这个计算过程迭代三次有点太复杂
试着对于四边形使用hujunhua的发现，结果好像一样成立
mathe 发表于 2019-2-5 22:11
试着对于四边形使用hujunhua的发现，结果好像一样成立
你这个迭代循环的周期为4啊。
也许五边形的迭代循环周期为5，六边形的为6，……？
试了一个五边形，作图验证了迭代循环的周期为5。
这就更有意思了。
mathe 在33#那样的计算方法，3次迭代都嫌计算量大，再往高次怕是更行不通了。
这个可以扩张到更多点也成立，数值计算可以验证
innerprod(a,b)=
{
local(s);
s=0;
for(u=1,length(a),
s+=a*b
);
s
}
perpvec(a,b)=
{
local(u);
u=innerprod(b,b)-innerprod(a,b);
u/=innerprod(a-b,a-b);
u*a+(1-u)*b
}
perprotate(m)=
{
local(n,r);
n=length(m[,1]);
r=matrix(n,length(m));
for(u=1,n-1,
r=perpvec(m,m)
);
r=perpvec(m,m);
r
}
granm(n,m)=
{
local(r);
r=matrix(n,m);
for(u=1,n,
for(v=1,m,
r=2*random(1.0)-1.0;
)
);
r
}
plen(m)=
{
local(n,r);
n=length(m[,1]);
r=vector(n);
for(u=1,n,
r=sqrt(innerprod(m,m))
);
r
}
pangle(m)=
{
local(n,r,x);
n=length(m[,1]);
r=vector(n);
x=plen(m);
for(u=1,n-1,
r=innerprod(m,m)/(x*x)
);
r=innerprod(m,m)/(x*x);
r
}
比如上面pari/gp代码，然后调用
(11:12) gp > m=granm(10,2);
(11:12) gp > h=m;
(11:12) gp > for(u=1,10,h=perprotate(h))
(11:12) gp > pangle(m)
%58 =
(11:13) gp > pangle(h)
%59 =
可以验证10个平面点也满足条件（取P为原点）。
但是如果扩展到三维就不成立了
对于一条光滑的闭曲线C，从平面上一点P向曲线C的切线作投影，切线动一周生成投影的轨迹C1，称为曲线C对点P的投影曲线。
接着再作C1对点P的投影曲线。
为了无穷迭代不发散到无穷远或退化到点P，我们将投影曲线以P为中心作一个位似变换，使所得像曲线的周长或面积保持不变，始终等于C的周长或面积。
那么无穷迭代会收敛到一个与C全等的曲线吗？
本帖最后由 lsr314 于 2019-2-6 12:59 编辑
hujunhua 发表于 2019-2-6 11:25
对于一条光滑的闭曲线C，从平面上一点P向曲线C的切线作投影，切线动一周生成投影的轨迹C1，称为曲线C对点P ...
对椭圆似乎不成立，第一次的轨迹是一条心形曲线，不是凸曲线。