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mathematica 发表于 2020-5-14 09:58:21

2014年广东高考题怎么做？

C点是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1外一点
，AB是椭圆上的两点，并且CA垂直于CB，
并且CA、CB都是椭圆的切线，求C点的轨迹！

答案似乎是xc^2+yc^2=a^2+b^2

我的思路如下，但是我用软件没求解出来，
Clear["Global`*"];
Eliminate[{
    (*切线方程,并且C点在切线上*)
    xc*xa/a^2+yc*ya/b^2==1,
    xc*xb/a^2+yc*yb/b^2==1,
    (*AB两点都在椭圆上*)
    xa*xa/a^2+ya*ya/b^2==1,
    xb*xb/a^2+yb*yb/b^2==1,
    (*AC与BC互相垂直*)
    (xc-xa)*(xc-xb)+(yc-ya)*(yc-yb)==0
},{xa,ya,xb,yb}]

我是列出五个方程，然后消掉AB的变量，
但是没成功，谁能搞出来，高考题，需要手算，
但是我不能手算。

mathematica 发表于 2020-5-14 10:21:55

本帖最后由 mathematica 于 2020-5-14 10:24 编辑

用特殊无理数来处理这个问题！
Clear["Global`*"];
(*取成特殊的无理数，伪符号变量,不会被消化吸收*)
a=Pi;b=E;
ans=Solve[
{
    (*切线方程,并且C点在切线上*)
    xc*xa/a^2+yc*ya/b^2==1,
    xc*xb/a^2+yc*yb/b^2==1,
    (*AB两点都在椭圆上*)
    xa*xa/a^2+ya*ya/b^2==1,
    xb*xb/a^2+yb*yb/b^2==1,
    (*AC与BC互相垂直*)
    (xc-xa)*(xc-xb)+(yc-ya)*(yc-yb)==0
},
{xa,ya,xb,yb,xc}]//FullSimplify
Grid


总共六个变量，xa ya xb yb xc yc，但是只有五个方程，因此五个变量可以用其余的一个变量表达出来，因此就是解方程，
求解最后的方程的结果如下：

\[\begin{array}{ccccc}
\text{xa}\to -\frac{\pi\sqrt{(e-\text{yc}) (\text{yc}+e)}}{e} & \text{ya}\to \text{yc} & \text{xb}\to -\frac{\pi\sqrt{(e-\text{yc}) (\text{yc}+e)}}{e} & \text{yb}\to \text{yc} & \text{xc}\to -\frac{\pi\sqrt{(e-\text{yc}) (\text{yc}+e)}}{e} \\
\text{xa}\to \frac{\pi\sqrt{(e-\text{yc}) (\text{yc}+e)}}{e} & \text{ya}\to \text{yc} & \text{xb}\to \frac{\pi\sqrt{(e-\text{yc}) (\text{yc}+e)}}{e} & \text{yb}\to \text{yc} & \text{xc}\to \frac{\pi\sqrt{(e-\text{yc}) (\text{yc}+e)}}{e} \\
\text{xa}\to -\frac{\pi ^2 \left(e^2 \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2}+\sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}\right)}{\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4} & \text{ya}\to \frac{e^2 \left(\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}-\pi ^2 \text{yc}^2\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \text{yc}^3-e^2 \left(e^2+\pi ^2\right) \text{yc}} & \text{xb}\to \frac{\pi ^2 \left(\sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}-e^2 \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2}\right)}{\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4} & \text{yb}\to \frac{e^2 \left(\pi ^2 \text{yc}^2+\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}\right)}{\text{yc} \left(\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4\right)} & \text{xc}\to -\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \\
\text{xa}\to \frac{\pi ^2 \left(\sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}-e^2 \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2}\right)}{\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4} & \text{ya}\to \frac{e^2 \left(\pi ^2 \text{yc}^2+\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}\right)}{\text{yc} \left(\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4\right)} & \text{xb}\to \frac{\pi ^2 \left(e^2 \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2}+\sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \text{yc}^2-e^2 \left(e^2+\pi ^2\right)} & \text{yb}\to \frac{e^2 \left(\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}-\pi ^2 \text{yc}^2\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \text{yc}^3-e^2 \left(e^2+\pi ^2\right) \text{yc}} & \text{xc}\to -\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \\
\text{xa}\to -\frac{\pi ^2 \left(\sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}-e^2 \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2}\right)}{\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4} & \text{ya}\to \frac{e^2 \left(\pi ^2 \text{yc}^2+\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}\right)}{\text{yc} \left(\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4\right)} & \text{xb}\to \frac{\pi ^2 \left(e^2 \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2}+\sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}\right)}{\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4} & \text{yb}\to \frac{e^2 \left(\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}-\pi ^2 \text{yc}^2\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \text{yc}^3-e^2 \left(e^2+\pi ^2\right) \text{yc}} & \text{xc}\to \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \\
\text{xa}\to \frac{\pi ^2 \left(e^2 \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2}+\sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}\right)}{\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4} & \text{ya}\to \frac{e^2 \left(\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}-\pi ^2 \text{yc}^2\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \text{yc}^3-e^2 \left(e^2+\pi ^2\right) \text{yc}} & \text{xb}\to \frac{\pi ^2 \left(\sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}-e^2 \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2}\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \text{yc}^2-e^2 \left(e^2+\pi ^2\right)} & \text{yb}\to \frac{e^2 \left(\pi ^2 \text{yc}^2+\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \sqrt{\text{yc}^2 \left(-e^2 \text{yc}^2+\pi ^2 \text{yc}^2+e^4\right)}\right)}{\text{yc} \left(\pi ^2 \text{yc}^2+e^2 (\pi -\text{yc}) (\text{yc}+\pi )+e^4\right)} & \text{xc}\to \sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2} \\
\text{xa}\to \frac{\pi ^2 \sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}-i \text{yc}\right)^2} \left(i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}-e^2+\pi ^2\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \left(\text{yc}^2-e^2+\pi ^2\right)} & \text{ya}\to \frac{i e^2}{\sqrt{\pi ^2-e^2}} & \text{xb}\to \frac{\pi ^2 \left(e^2+i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}\right) \left(\text{yc}^2-e^2+\pi ^2\right)}{\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}-i \text{yc}\right)^2} \left(-e^2 \left(\text{yc}^2+\pi ^2\right)+\pi ^2 \text{yc} \left(\text{yc}-i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right)+e^4\right)} & \text{yb}\to \frac{e^4 \sqrt{\pi ^2-e^2}+e^2 \text{yc} \left(-\sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}+i \pi ^2\right)}{-i e^2 \left(\text{yc}^2+\pi ^2\right)+\pi ^2 \left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right) \text{yc}+i e^4} & \text{xc}\to -\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}-i \text{yc}\right)^2} \\
\text{xa}\to \frac{\pi ^2 \sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}-i \text{yc}\right)^2} \left(i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}-e^2+\pi ^2\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \left(-\text{yc}^2+e^2-\pi ^2\right)} & \text{ya}\to \frac{i e^2}{\sqrt{\pi ^2-e^2}} & \text{xb}\to -\frac{\pi ^2 \left(e^2-i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}\right) \left(\text{yc}^2-e^2+\pi ^2\right)}{\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}-i \text{yc}\right)^2} \left(i \pi ^2 \text{yc} \left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)+e^2 \left(-\pi ^2+\text{yc} \left(\text{yc}-2 i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right)\right)+e^4\right)} & \text{yb}\to \frac{e^4 \left(2 \text{yc}-i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right)-e^2 \text{yc} \left(\pi ^2+i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}\right)}{i \pi ^2 \text{yc} \left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)+e^2 \left(-\pi ^2+\text{yc} \left(\text{yc}-2 i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right)\right)+e^4} & \text{xc}\to \sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}-i \text{yc}\right)^2} \\
\text{xa}\to \frac{\pi ^2 \sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)^2} \left(-i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}-e^2+\pi ^2\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \left(\text{yc}^2-e^2+\pi ^2\right)} & \text{ya}\to -\frac{i e^2}{\sqrt{\pi ^2-e^2}} & \text{xb}\to \frac{\pi ^2 \left(e^2-i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}\right) \left(\text{yc}^2-e^2+\pi ^2\right)}{\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)^2} \left(-e^2 \left(\text{yc}^2+\pi ^2\right)+\pi ^2 \text{yc} \left(\text{yc}+i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right)+e^4\right)} & \text{yb}\to -\frac{i e^2}{\sqrt{\pi ^2-e^2}} & \text{xc}\to -\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)^2} \\
\text{xa}\to \frac{\pi ^2 \sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)^2} \left(-i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}-e^2+\pi ^2\right)}{(e-\pi ) (e+\pi ) \left(-\text{yc}^2+e^2-\pi ^2\right)} & \text{ya}\to -\frac{i e^2}{\sqrt{\pi ^2-e^2}} & \text{xb}\to -\frac{\pi ^2 \left(e^2+i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}\right) \left(\text{yc}^2-e^2+\pi ^2\right)}{\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)^2} \left(\pi ^2 \left(-\text{yc}-i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right) \text{yc}+e^2 \left(-\pi ^2+\text{yc} \left(\text{yc}+2 i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right)\right)+e^4\right)} & \text{yb}\to \frac{e^4 \left(2 \text{yc}+i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right)+e^2 \text{yc} \left(-\pi ^2+i \sqrt{\pi ^2-e^2} \text{yc}\right)}{\pi ^2 \left(-\text{yc}-i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right) \text{yc}+e^2 \left(-\pi ^2+\text{yc} \left(\text{yc}+2 i \sqrt{\pi ^2-e^2}\right)\right)+e^4} & \text{xc}\to \sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)^2} \\
\end{array}\]






但是高考题，肯定不能这么解答

如果只要XC这一列，那么解答是
\[\left\{-\frac{\pi\sqrt{(e-\text{yc}) (\text{yc}+e)}}{e},\frac{\pi\sqrt{(e-\text{yc}) (\text{yc}+e)}}{e},-\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2},-\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2},\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2},\sqrt{-\text{yc}^2+e^2+\pi ^2},-\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}-i \text{yc}\right)^2},\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}-i \text{yc}\right)^2},-\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)^2},\sqrt{\left(\sqrt{\pi ^2-e^2}+i \text{yc}\right)^2}\right\}\]
从这个回答可以知道是圆的方程

mathematica 发表于 2020-5-14 10:30:36

mathematica 发表于 2020-5-14 10:21
用特殊无理数来处理这个问题！




高考题肯定不可能用软件求解的，
那怎么手算呢？反正我不会！

mathematica 发表于 2020-5-14 10:41:00

不用仿射变换，有没有好的办法解决？

lsr314 发表于 2020-5-14 10:43:15

百度搜2014年广东高考题第一条就是答案啊，而且论坛有讨论过这道题，并且推广到了三维的情况。

mathematica 发表于 2020-5-14 10:53:05

lsr314 发表于 2020-5-14 10:43
百度搜2014年广东高考题第一条就是答案啊，而且论坛有讨论过这道题，并且推广到了三维的情况。

我把问题想复杂了！
经常用软件求解问题，
结果现在连判别式的办法都不会了！

mathematica 发表于 2020-5-14 10:55:44

lsr314 发表于 2020-5-14 10:43
百度搜2014年广东高考题第一条就是答案啊，而且论坛有讨论过这道题，并且推广到了三维的情况。

在论坛的哪里？我看看

mathematica 发表于 2020-5-14 10:56:16

lsr314 发表于 2020-5-14 10:43
百度搜2014年广东高考题第一条就是答案啊，而且论坛有讨论过这道题，并且推广到了三维的情况。

不过还是mathematica牛逼，这方程组都能求解出来！

mathematica 发表于 2020-5-14 11:59:07

Clear["Global`*"];
(*联立求解方程组，求解出来的结果是AB两点，
斜率也是两个，两个斜率之积等于-1*)
ans=Solve[
{
    (*切线方程,并且C点在切线上*)
    xc*x/a^2+yc*y/b^2==1,
    (*A点与B点都在椭圆上*)
    x*x/a^2+y*y/b^2==1,
    (*利用x y来表达斜率*)
    k==-b^2/a^2*x/y
},
{x,y,k}]//FullSimplify
Grid


\[\begin{array}{ccc}
x\to \frac{a^2 \left(\text{yc} \sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}+b^4 \text{xc}^2\right)}{a^2 b^2 \text{xc} \text{yc}^2+b^4 \text{xc}^3} & y\to \frac{a^2 b^2 \text{yc}-\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}}{a^2 \text{yc}^2+b^2 \text{xc}^2} & k\to \frac{\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}+b^2 \text{xc}^2 \text{yc}}{b^2 \left(\text{xc}^3-a^2 \text{xc}\right)} \\
x\to \frac{a^2 \left(b^4 \text{xc}^2-\text{yc} \sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}\right)}{a^2 b^2 \text{xc} \text{yc}^2+b^4 \text{xc}^3} & y\to \frac{a^2 b^2 \text{yc}+\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}}{a^2 \text{yc}^2+b^2 \text{xc}^2} & k\to \frac{b^2 \text{xc}^2 \text{yc}-\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}}{b^2 \left(\text{xc}^3-a^2 \text{xc}\right)} \\
\end{array}\]
两个斜率的乘积化简后的结果是

\[\frac{b^2-\text{yc}^2}{a^2-\text{xc}^2}=-1\]
这是一个圆的方程

mathematica 发表于 2020-5-14 12:51:58

mathematica 发表于 2020-5-14 11:59
\[\begin{array}{ccc}
x\to \frac{a^2 \left(\text{yc} \sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^ ...

    (*切线方程,并且C点在切线上*)
    xc*x/a^2+yc*y/b^2==1,

    (*利用x y来表达斜率*)
    k==-b^2/a^2*x/y

联立二元一次方程组求解x y
然后点在椭圆上，带入椭圆
    (*A点与B点都在椭圆上*)
    x*x/a^2+y*y/b^2==1,

然后得到xc yc k的表达式，化简得到关于k的一元二次方程，
然后有两个根，两个根的乘积等于-1，
根据韦达定理，得到xc yc的表达式

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