Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*等边三角形的边长等于a=根号7,∠AHB=120°∠BHC=150,∠CHA=90°利用三次余弦定理解决这个问题*)
a=Sqrt;(*等边三角形的边长*)
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
ans=Solve[
{
cs==Cos[(360-60-90-90)Degree],(*三角形AHB中的余弦定理*)
cs==Cos[(60+90)Degree],(*余弦定理*)
cs==Cos[(90)Degree],(*余弦定理*)
HA>=0&&HB>=0&&HC>=0(*限制变量范围*)
}
,{HA,HB,HC}]//FullSimplify
(*等边三角形每个角都是60°,减去反正切得到的角,然后计算出HCD的正切*)
HD1=HC*Tan]/.ans//FullSimplify
(*利用余弦定理计算出HCB的余弦,得到角度,再算出正切*)
HD2=HC*Tan]/.ans//FullSimplify
计算结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]
\[\left\{\frac{1}{3}\right\}\]
\[\left\{\frac{1}{3}\right\}\]
假设∠BCH=x,然后写出各个角,再利用正弦定理求解出x,
再利用正弦定理求解出HC,然后就可以很容易就求解出DH
具体见图
觉得麻烦可以使用软件求解,虽然软件的求解功能对这个问题来说弱了一些
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*假设∠HCB=x,然后求解出以A\B\C为顶点的各个角的度数(以x为参数来表达),
再在三角形HBC,HAC中利用正弦定理求解问题*)
a=Sqrt;(*等边三角形的边长*)
ans=Solve[{
(*在三角形HBC与HAC中利用正弦定理求解出∠HCB=x的角度*)
Sin/Sin==Sin/Sin,
0<x<Pi/3(*限制变量范围*)
},{x}]//FullSimplify
(*求解出正切值*)
Tan/.ans//FullSimplify
(*求解出HC的值,利用正弦定理求解*)
{c}=a*Sin/Sin/.ans//FullSimplify
(*求解出DH的值*)
{DH}=c*Tan/.ans//FullSimplify
\[\left\{\left\{x\to -2 \tan ^{-1}\left(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{7}\right)\right\}\right\}\]
x的正切值是
\[\left\{\frac{1}{3 \sqrt{3}}\right\}\]
HC的长度是
\[\left\{\sqrt{3}\right\}\]
HD的长度是
\[{1/3}\]
用反三角函数来求解这个问题!
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
a=Sqrt;(*等边三角形的边长*)
ans=Solve/a]+ArcSin/a]==Pi/3,{HC}]
HC的结果是
\[\left\{\left\{\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]
,下一步就能求解出HA(利用勾股定理),
然后得到∠HCA的正切值,ACB=60°,所以可以求解出HCB的正切值,最后求解出HD
mathematica 发表于 2021-2-19 13:00
用反三角函数来求解这个问题!
HC的结果是
Solve[{x^2+y^2=y^2+z^2-2y z cos/6]=z^2+x^2-2z x cos/3]=(sqrt)^2,k^2+y^2=((2sqrt)/3)^2},{k,z,y,x}]
{{k -> 1/3, z -> 1, y -> Sqrt, x -> 2}}
王守恩 发表于 2021-2-19 16:04
Solve[{x^2+y^2=y^2+z^2-2y z cos=z^2+x^2-2z x cos=(sqrt)^2,k^2+y^2=((2sqrt)/3)^2},{ ...
2sqrt)/3 这个是怎么来的？
王守恩 发表于 2021-2-19 16:04
Solve[{x^2+y^2=y^2+z^2-2y z cos=z^2+x^2-2z x cos=(sqrt)^2,k^2+y^2=((2sqrt)/3)^2},{ ...
我的代码第一行就清除所有变量（防止前面别人的变量与我写的代码的变量冲突，方便别人使用）
还注明了软件版本、操作系统版本，方便别人代码运行不出来时找原因。
代码有注释，有缩进，可重复利用性非常高！
你看是不是？
mathematica 发表于 2021-2-19 12:35
假设∠BCH=x,然后写出各个角,再利用正弦定理求解出x,
再利用正弦定理求解出HC,然后就可以很容易就求解出DH ...
12楼似乎也能直接求解！
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
m=Sqrt;(*等边三角形的边长*)
(*假设∠BCH=x，然后表达出其余各个角的角度*)
ans=Solve[
m/Sin==HC/Sin&&(*三角形BCH中使用正弦定理*)
m/Sin==HC/Sin&&(*三角形ACH中使用正弦定理*)
HD==HC*Tan&&(*这个关系很显然成立*)
TanBCH==Tan&&(*计算出正切值，软件表达x不够简单*)
0<x<Pi/3,(*限制变量范围*)
{HC,HD,x,TanBCH}]//FullSimplify
求解结果
\[\left\{\left\{\text{HC}\to \sqrt{3},\text{HD}\to \frac{1}{3},x\to -2 \tan ^{-1}\left(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{7}\right),\text{TanBCH}\to \frac{1}{3 \sqrt{3}}\right\}\right\}\]
又是一种新思路！
(*利用解析几何与圆交点来解决问题,由于∠HAC=90°，所以H点轨迹在圆上，
由于∠BHC=150°，所以H点轨迹也在圆上，两个相交圆确定了H点的坐标*)
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
m=Sqrt;(*等边三角形的边长*)
(*AC两点坐标赋值，B点在原点*)
{xa,ya}=m*{Cos,Sin};
{xc,yc}=m*{1,0};
{x1,y1}={(xa+xc)/2,(ya+yc)/2};(*AC那一侧的圆的圆心*)
{x2,y2}=m*{Cos[-60Degree],Sin[-60Degree]};(*BC那一侧圆的圆心*)
ans=Solve[
(xh-x1)^2+(yh-y1)^2==(m/2)^2&&(*H点在圆上*)
(xh-x2)^2+(yh-y2)^2==m^2&&(*H点在圆上*)
Det[{{xa,ya,1},{xh,yh,1},{xd,0,1}}]==0&&(*AHD三点共线*)
DH==Sqrt[(xh-xd)^2+(yh-0)^2],(*计算DH长度*)
{xh,yh,xd,DH}]//FullSimplify
利用圆的相交，照样可以求解出H点的坐标，剩下的就简单了。思路写在注释里面。
求解结果
\[\left\{\left\{\text{xh}\to \sqrt{7},\text{yh}\to 0,\text{xd}\to \sqrt{7},\text{DH}\to 0\right\},\left\{\text{xh}\to \frac{5}{2 \sqrt{7}},\text{yh}\to \frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2},\text{xd}\to \frac{\sqrt{7}}{3},\text{DH}\to \frac{1}{3}\right\}\right\}\]
mathematica 发表于 2021-2-18 11:32
求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]
...
关于2楼方程组的求解！
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
m=Sqrt;(*等边三角形的边长*)
f1=a^2+b^2-2*a*b*Cos-m^2;
f2=b^2+c^2-2*b*c*Cos-m^2;
f3=a^2+c^2-m^2;
(*利用结式消除变量求解方程组*)
g1=Resultant;(*消除a，保留b与c,因为f2只与b,c有关系*)
g1=Collect(*多项式按照b来排序*)
g2=Resultant//Factor(*消除b，保留c,通过这个等式计算出c的值*)
\
\
本帖最后由 mathematica 于 2021-3-10 11:29 编辑
如果三角形的三边是7 8 9,内部的角度依次是135°150°75°,
那么求解结果如下:
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
ans=Solve[{
cs==Cos,
cs==Cos,
cs==Cos,
a>0&&b>0&&c>0
},{a,b,c}]//FullSimplify//ToRadicals
这个时候,用初中的奇技淫巧应该就不行了!
这时候,充分显示出方程思想的威力.
\[\left\{\left\{a\to \frac{1048}{\sqrt{3147 \sqrt{3}+12 \sqrt{5 \left(35800 \sqrt{3}+62041\right)}+20422}},b\to 3 \sqrt{\frac{-601716496 \sqrt{3}-8 \sqrt{5} \left(36452277 \sqrt{3}+61939201\right)+3445882809}{441443329}},c\to 24 \sqrt{\frac{2 \left(13130752 \sqrt{5}-3 \sqrt{3 \left(12078315834904 \sqrt{5}+27008078128089\right)}+29576994\right)}{441443329}}\right\}\right\}\]