这个中考压轴题如何做?

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*等边三角形的边长等于a=根号7,∠AHB=120°∠BHC=150,∠CHA=90°利用三次余弦定理解决这个问题*)
   
3. a=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
   
4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
6. ans=Solve[
   
7.     {
   
8.         cs[HA,HB,a]==Cos[(360-60-90-90)Degree],(*三角形AHB中的余弦定理*)
   
9.         cs[HB,HC,a]==Cos[(60+90)Degree],(*余弦定理*)
   
10.         cs[HC,HA,a]==Cos[(90)Degree],(*余弦定理*)
    
11.         HA>=0&&HB>=0&&HC>=0(*限制变量范围*)
    
12.     }
    
13. ,{HA,HB,HC}]//FullSimplify
    
14. (*等边三角形每个角都是60°,减去反正切得到的角,然后计算出HCD的正切*)
    
15. HD1=HC*Tan[Pi/3-ArcTan[HA/HC]]/.ans//FullSimplify
    
16. (*利用余弦定理计算出HCB的余弦,得到角度,再算出正切*)
    
17. HD2=HC*Tan[ArcCos@cs[a,HC,HB]]/.ans//FullSimplify
    

复制代码

计算结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]

\[\left\{\frac{1}{3}\right\}\]
\[\left\{\frac{1}{3}\right\}\]

mathematica

假设∠BCH=x,然后写出各个角,再利用正弦定理求解出x,
再利用正弦定理求解出HC,然后就可以很容易就求解出DH
具体见图

觉得麻烦可以使用软件求解,虽然软件的求解功能对这个问题来说弱了一些

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*假设∠HCB=x,然后求解出以A\B\C为顶点的各个角的度数(以x为参数来表达),
   
3. 再在三角形HBC,HAC中利用正弦定理求解问题*)
   
4. a=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     (*在三角形HBC与HAC中利用正弦定理求解出∠HCB=x的角度*)
   
7.     Sin[150*Degree]/Sin[30*Degree-x]==Sin[90*Degree]/Sin[30*Degree+x],
   
8.     0<x<Pi/3  (*限制变量范围*)
   
9. },{x}]//FullSimplify
   
10. (*求解出正切值*)
    
11. Tan[x]/.ans//FullSimplify
    
12. (*求解出HC的值,利用正弦定理求解*)
    
13. {c}=a*Sin[Pi/6+x]/Sin[90*Degree]/.ans//FullSimplify
    
14. (*求解出DH的值*)
    
15. {DH}=c*Tan[x]/.ans//FullSimplify
    

复制代码

\[\left\{\left\{x\to -2 \tan ^{-1}\left(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{7}\right)\right\}\right\}\]
x的正切值是
\[\left\{\frac{1}{3 \sqrt{3}}\right\}\]
HC的长度是
\[\left\{\sqrt{3}\right\}\]
HD的长度是
\[{1/3}\]

mathematica

用反三角函数来求解这个问题!

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. a=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
   
3. ans=Solve[ArcSin[HC*Sin[150*Degree]/a]+ArcSin[HC*Sin[90*Degree]/a]==Pi/3,{HC}]
   

复制代码

HC的结果是
\[\left\{\left\{\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]
,下一步就能求解出HA(利用勾股定理),
然后得到∠HCA的正切值,ACB=60°,所以可以求解出HCB的正切值,最后求解出HD

王守恩

mathematica 发表于 2021-2-19 13:00
用反三角函数来求解这个问题!

HC的结果是

Solve[{x^2+y^2=y^2+z^2-2y z cos[5[Pi]/6]=z^2+x^2-2z x cos[2[Pi]/3]=(sqrt[7])^2,k^2+y^2=((2sqrt[7])/3)^2},{k,z,y,x}]
{{k -> 1/3, z -> 1, y -> Sqrt[3], x -> 2}}

mathematica

王守恩 发表于 2021-2-19 16:04
Solve[{x^2+y^2=y^2+z^2-2y z cos[5/6]=z^2+x^2-2z x cos[2/3]=(sqrt[7])^2,k^2+y^2=((2sqrt[7])/3)^2},{ ...

2sqrt[7])/3 这个是怎么来的？

mathematica

王守恩 发表于 2021-2-19 16:04
Solve[{x^2+y^2=y^2+z^2-2y z cos[5/6]=z^2+x^2-2z x cos[2/3]=(sqrt[7])^2,k^2+y^2=((2sqrt[7])/3)^2},{ ...

我的代码第一行就清除所有变量（防止前面别人的变量与我写的代码的变量冲突，方便别人使用）
还注明了软件版本、操作系统版本，方便别人代码运行不出来时找原因。

代码有注释，有缩进，可重复利用性非常高！
你看是不是？

mathematica

mathematica 发表于 2021-2-19 12:35
假设∠BCH=x,然后写出各个角,再利用正弦定理求解出x,
再利用正弦定理求解出HC,然后就可以很容易就求解出DH ...

12楼似乎也能直接求解！

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. m=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
   
3. (*假设∠BCH=x，然后表达出其余各个角的角度*)
   
4. ans=Solve[
   
5.     m/Sin[150*Degree]==HC/Sin[Pi/6-x]&&(*三角形BCH中使用正弦定理*)
   
6.     m/Sin[90*Degree]==HC/Sin[Pi/6+x]&&(*三角形ACH中使用正弦定理*)
   
7.     HD==HC*Tan[x]&&(*这个关系很显然成立*)
   
8.     TanBCH==Tan[x]&&(*计算出正切值，软件表达x不够简单*)
   
9.     0<x<Pi/3,(*限制变量范围*)
   
10. {HC,HD,x,TanBCH}]//FullSimplify
    

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{\text{HC}\to \sqrt{3},\text{HD}\to \frac{1}{3},x\to -2 \tan ^{-1}\left(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{7}\right),\text{TanBCH}\to \frac{1}{3 \sqrt{3}}\right\}\right\}\]

mathematica

又是一种新思路！

1. (*利用解析几何与圆交点来解决问题,由于∠HAC=90°，所以H点轨迹在圆上，
   
2. 由于∠BHC=150°，所以H点轨迹也在圆上，两个相交圆确定了H点的坐标*)
   
3. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
4. m=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
   
5. (*AC两点坐标赋值，B点在原点*)
   
6. {xa,ya}=m*{Cos[60Degree],Sin[60Degree]};
   
7. {xc,yc}=m*{1,0};
   
8. {x1,y1}={(xa+xc)/2,(ya+yc)/2};(*AC那一侧的圆的圆心*)
   
9. {x2,y2}=m*{Cos[-60Degree],Sin[-60Degree]};(*BC那一侧圆的圆心*)
   
10. ans=Solve[
    
11.     (xh-x1)^2+(yh-y1)^2==(m/2)^2&&(*H点在圆上*)
    
12.     (xh-x2)^2+(yh-y2)^2==m^2&&(*H点在圆上*)
    
13.     Det[{{xa,ya,1},{xh,yh,1},{xd,0,1}}]==0&&(*AHD三点共线*)
    
14.     DH==Sqrt[(xh-xd)^2+(yh-0)^2],(*计算DH长度*)
    
15.     {xh,yh,xd,DH}]//FullSimplify
    

复制代码

利用圆的相交，照样可以求解出H点的坐标，剩下的就简单了。思路写在注释里面。
求解结果
\[\left\{\left\{\text{xh}\to \sqrt{7},\text{yh}\to 0,\text{xd}\to \sqrt{7},\text{DH}\to 0\right\},\left\{\text{xh}\to \frac{5}{2 \sqrt{7}},\text{yh}\to \frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2},\text{xd}\to \frac{\sqrt{7}}{3},\text{DH}\to \frac{1}{3}\right\}\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-2-18 11:32
求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]
...

关于2楼方程组的求解！

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. m=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
   
3. f1=a^2+b^2-2*a*b*Cos[120*Degree]-m^2;
   
4. f2=b^2+c^2-2*b*c*Cos[150*Degree]-m^2;
   
5. f3=a^2+c^2-m^2;
   
6. (*利用结式消除变量求解方程组*)
   
7. g1=Resultant[f1,f3,a];(*消除a，保留b与c,因为f2只与b,c有关系*)
   
8. g1=Collect[g1,b](*多项式按照b来排序*)
   
9. g2=Resultant[g1,f2,b]//Factor(*消除b，保留c,通过这个等式计算出c的值*)
   

复制代码

\[b^4+b^2 \left(-c^2-7\right)+c^4==0\]
\[343 c^2 \left(c^2-3\right)==0\]

mathematica

如果三角形的三边是7 8 9,内部的角度依次是135°  150°  75°,
那么求解结果如下:

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. ans=Solve[{
   
5.     cs[a,b,7]==Cos[135*Degree],
   
6.     cs[b,c,9]==Cos[150*Degree],
   
7.     cs[c,a,8]==Cos[075*Degree],
   
8.     a>0&&b>0&&c>0
   
9. },{a,b,c}]//FullSimplify//ToRadicals
   

复制代码

这个时候,用初中的奇技淫巧应该就不行了!
这时候,充分显示出方程思想的威力.
\[\left\{\left\{a\to \frac{1048}{\sqrt{3147 \sqrt{3}+12 \sqrt{5 \left(35800 \sqrt{3}+62041\right)}+20422}},b\to 3 \sqrt{\frac{-601716496 \sqrt{3}-8 \sqrt{5} \left(36452277 \sqrt{3}+61939201\right)+3445882809}{441443329}},c\to 24 \sqrt{\frac{2 \left(13130752 \sqrt{5}-3 \sqrt{3 \left(12078315834904 \sqrt{5}+27008078128089\right)}+29576994\right)}{441443329}}\right\}\right\}\]