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[原创] 这个中考压轴题如何做?

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发表于 2021-2-18 08:47:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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我除了解析几何的办法就不会做了,但是解析几何是高中数学的知识.
  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. (*ABCD四个点赋值*)
  3. {xa,ya}=Sqrt[7]*{Cos[60Degree],Sin[60Degree]};
  4. {xb,yb}={0,0};
  5. {xc,yc}=Sqrt[7]*{1,0};
  6. {xd,yd}={a,0};(*此处有一个变量*)
  7. ans=Solve[{
  8.     Det[{{xa,ya,1},{xh,yh,1},{xd,yd,1}}]==0,(*AHD三点共线*)
  9.     k1==(ya-yd)/(xa-xd),(*AD斜率*)
  10.     -1/k1==(yh-yc)/(xh-xc),(*CH垂直于AD*)
  11.     k2==(yh-yb)/(xh-xb),(*BH斜率*)
  12.     (k1-k2)/(1+k1*k2)==Tan[60Degree],(*∠BHD=60°*)
  13.     DH==Sqrt[(xh-xd)^2+(yh-yd)^2](*计算DH长度*)
  14. },{a,xh,yh,k1,k2,DH}]//FullSimplify
复制代码


\[\left\{\left\{a\to \frac{\sqrt{7}}{3},\text{xh}\to \frac{5}{2 \sqrt{7}},\text{yh}\to \frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2},\text{k1}\to 3 \sqrt{3},\text{k2}\to \frac{\sqrt{3}}{5},\text{DH}\to \frac{1}{3}\right\}\right\}\]

除了发现是三等分点,别的都没发现!
20210218.png
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 楼主| 发表于 2021-2-18 11:32:15 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. (*等边三角形的边长等于a=根号7,∠AHB=120°∠BHC=150,∠CHA=90°利用三次余弦定理解决这个问题*)
  3. a=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
  4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  6. ans=Solve[
  7.     {
  8.         cs[HA,HB,a]==Cos[(360-60-90-90)Degree],(*三角形AHB中的余弦定理*)
  9.         cs[HB,HC,a]==Cos[(60+90)Degree],(*余弦定理*)
  10.         cs[HC,HA,a]==Cos[(90)Degree],(*余弦定理*)
  11.         HA>=0&&HB>=0&&HC>=0(*限制变量范围*)
  12.     }
  13. ,{HA,HB,HC}]//FullSimplify
  14. aaa=Solve[
  15.     {
  16.         cs[CD,a,HA+HD]==Cos[60Degree],(*三角形ACD中使用余弦定理*)
  17.         HD^2+HC^2==CD^2,(*三角形HDC中使用勾股定理*)
  18.         HD>=0&&CD>=0(*限制变量范围*)
  19.     }/.Flatten[ans](*带入上面的求解结果*)
  20. ,{HD,CD}]//FullSimplify
复制代码


求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]

\[\left\{\left\{\text{HD}\to \frac{1}{3},\text{CD}\to \frac{2 \sqrt{7}}{3}\right\}\right\}\]

点评

这儿方程组原本有两组HC=0的解,但是因为分母不能等于零,这两组解被软件过滤掉了  发表于 2021-2-21 09:32
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 楼主| 发表于 2021-2-18 11:48:12 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-2-18 11:32
求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]
...
  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. (*等边三角形的边长等于a=根号7,∠AHB=120°∠BHC=150,∠CHA=90°利用三次余弦定理解决这个问题*)
  3. a=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
  4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  6. ans=Solve[
  7.     {
  8.         cs[HA,HB,a]==Cos[(360-60-90-90)Degree],(*三角形AHB中的余弦定理*)
  9.         cs[HB,HC,a]==Cos[(60+90)Degree],(*余弦定理*)
  10.         cs[HC,HA,a]==Cos[(90)Degree],(*余弦定理*)
  11.         HA>=0&&HB>=0&&HC>=0,(*限制变量范围*)
  12.         cs[CD,a,HA+HD]==Cos[60Degree],(*三角形ACD中使用余弦定理*)
  13.         HD^2+HC^2==CD^2,(*三角形HDC中使用勾股定理*)
  14.         HD>=0&&CD>=0(*限制变量范围*)
  15.     }
  16. ,{HA,HB,HC,HD,CD}]//FullSimplify
复制代码


两个合并成一个,求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3},\text{HD}\to \frac{1}{3},\text{CD}\to \frac{2 \sqrt{7}}{3}\right\}\right\}\]
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 楼主| 发表于 2021-2-18 12:00:10 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-2-18 11:48
两个合并成一个,求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3},\ ...

稍微换一种解决办法.
  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. (*等边三角形的边长等于a=根号7,∠AHB=120°∠BHC=150,∠CHA=90°利用三次余弦定理解决这个问题*)
  3. a=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
  4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  6. ans=Solve[
  7.     {
  8.         cs[HA,HB,a]==Cos[(360-60-90-90)Degree],(*三角形AHB中的余弦定理*)
  9.         cs[HB,HC,a]==Cos[(60+90)Degree],(*余弦定理*)
  10.         cs[HC,HA,a]==Cos[(90)Degree],(*余弦定理*)
  11.         HA>=0&&HB>=0&&HC>=0,(*限制变量范围*)
  12.         cs[HB,HD,BD]==Cos[60Degree],(*三角形BHD中使用余弦定理*)
  13.         HD^2+HC^2==CD^2,(*三角形HDC中使用勾股定理*)
  14.         BD+CD==a,(*很显然成立的*)
  15.         HD>=0&&BD>=0&&CD>=0(*限制变量范围*)
  16.     }
  17. ,{HA,HB,HC,HD,BD,CD}]//FullSimplify
复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3},\text{HD}\to \frac{1}{3},\text{BD}\to \frac{\sqrt{7}}{3},\text{CD}\to \frac{2 \sqrt{7}}{3}\right\}\right\}\]

点评

这个办法最简单最粗暴了!典型的将复杂的留给计算机,把简单留给人类  发表于 2021-2-20 11:03
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 楼主| 发表于 2021-2-18 12:03:37 | 显示全部楼层
@mathe @hujunhua @chyanog @wayne @hejoseph @kastin
你们有什么好的求解办法?
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 楼主| 发表于 2021-2-18 12:42:56 来自手机 | 显示全部楼层

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初中几何题,等边三角形求角度  发表于 2021-2-20 08:48
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发表于 2021-2-18 15:31:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-18 17:44 编辑

杀鸡焉用牛刀!跟着各位大神也有段时间了,我先上阵。
P是AH上的点,作∠PCH=30,则三角形APC≌三角形AHB,
作∠APC平分线E(E属于CA),则三角形BDH:三角形PCE=1:2

点评

有时间配个图  发表于 2021-2-18 19:31
E点在哪里????  发表于 2021-2-18 16:10
配个图呀!  发表于 2021-2-18 16:08
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发表于 2021-2-18 19:01:46 来自手机 | 显示全部楼层
H绕B逆时针转60度可得HA,HB,HC长度。计算面积比可得AH:AD=6:7

点评

其实求出了HA HB HC的长度,就可以用余弦定理求解出所有的角,然后用正弦定理求解出HD的长度  发表于 2021-2-19 08:53
得出HA,HB,HC分别为$2,1,\sqrt{3}$以后,由于角BHC是150度,所以HC边上高为HB的一半,所以三角形BHC面积为$\sqrt{3}/4$,而正三角形ABC面积为${7\sqrt{3}}/4$  发表于 2021-2-19 07:36
面积比如何得到?  发表于 2021-2-18 19:20
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发表于 2021-2-18 21:09:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2021-2-18 21:11 编辑

延长AH至E,使得三角形BHE为等边三角形(边长为x),可得三角形ABH全等于三角形BEC,角BAH=角BCE,故ABCE四点共圆,可得角AEC=60,设BH=x,HD=y,则(2x)^2+3x^2=7,x=1.又因三角形ADC相似于三角形ACE,故AC^2=AD*AE=(2x+y)*3x=7,故y=1/3
333.png

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不错!六楼链接里也有旋转的办法!  发表于 2021-2-18 22:01
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 楼主| 发表于 2021-2-18 22:02:32 | 显示全部楼层
aimisiyou 发表于 2021-2-18 21:09
延长AH至E,使得三角形BHE为等边三角形(边长为x),可得三角形ABH全等于三角形BEC,角BAH=角BCE,故ABCE四 ...

什么专业的?居然也用CAD!机械?
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