这个中考压轴题如何做?

mathematica

我除了解析几何的办法就不会做了,但是解析几何是高中数学的知识.

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*ABCD四个点赋值*)
   
3. {xa,ya}=Sqrt[7]*{Cos[60Degree],Sin[60Degree]};
   
4. {xb,yb}={0,0};
   
5. {xc,yc}=Sqrt[7]*{1,0};
   
6. {xd,yd}={a,0};(*此处有一个变量*)
   
7. ans=Solve[{
   
8.     Det[{{xa,ya,1},{xh,yh,1},{xd,yd,1}}]==0,(*AHD三点共线*)
   
9.     k1==(ya-yd)/(xa-xd),(*AD斜率*)
   
10.     -1/k1==(yh-yc)/(xh-xc),(*CH垂直于AD*)
    
11.     k2==(yh-yb)/(xh-xb),(*BH斜率*)
    
12.     (k1-k2)/(1+k1*k2)==Tan[60Degree],(*∠BHD=60°*)
    
13.     DH==Sqrt[(xh-xd)^2+(yh-yd)^2](*计算DH长度*)
    
14. },{a,xh,yh,k1,k2,DH}]//FullSimplify
    

复制代码

\[\left\{\left\{a\to \frac{\sqrt{7}}{3},\text{xh}\to \frac{5}{2 \sqrt{7}},\text{yh}\to \frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2},\text{k1}\to 3 \sqrt{3},\text{k2}\to \frac{\sqrt{3}}{5},\text{DH}\to \frac{1}{3}\right\}\right\}\]

除了发现是三等分点,别的都没发现!

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*等边三角形的边长等于a=根号7,∠AHB=120°∠BHC=150,∠CHA=90°利用三次余弦定理解决这个问题*)
   
3. a=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
   
4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
6. ans=Solve[
   
7.     {
   
8.         cs[HA,HB,a]==Cos[(360-60-90-90)Degree],(*三角形AHB中的余弦定理*)
   
9.         cs[HB,HC,a]==Cos[(60+90)Degree],(*余弦定理*)
   
10.         cs[HC,HA,a]==Cos[(90)Degree],(*余弦定理*)
    
11.         HA>=0&&HB>=0&&HC>=0(*限制变量范围*)
    
12.     }
    
13. ,{HA,HB,HC}]//FullSimplify
    
14. aaa=Solve[
    
15.     {
    
16.         cs[CD,a,HA+HD]==Cos[60Degree],(*三角形ACD中使用余弦定理*)
    
17.         HD^2+HC^2==CD^2,(*三角形HDC中使用勾股定理*)
    
18.         HD>=0&&CD>=0(*限制变量范围*)
    
19.     }/.Flatten[ans](*带入上面的求解结果*)
    
20. ,{HD,CD}]//FullSimplify
    

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]

\[\left\{\left\{\text{HD}\to \frac{1}{3},\text{CD}\to \frac{2 \sqrt{7}}{3}\right\}\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-2-18 11:32
求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3}\right\}\right\}\]
...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*等边三角形的边长等于a=根号7,∠AHB=120°∠BHC=150,∠CHA=90°利用三次余弦定理解决这个问题*)
   
3. a=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
   
4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
6. ans=Solve[
   
7.     {
   
8.         cs[HA,HB,a]==Cos[(360-60-90-90)Degree],(*三角形AHB中的余弦定理*)
   
9.         cs[HB,HC,a]==Cos[(60+90)Degree],(*余弦定理*)
   
10.         cs[HC,HA,a]==Cos[(90)Degree],(*余弦定理*)
    
11.         HA>=0&&HB>=0&&HC>=0,(*限制变量范围*)
    
12.         cs[CD,a,HA+HD]==Cos[60Degree],(*三角形ACD中使用余弦定理*)
    
13.         HD^2+HC^2==CD^2,(*三角形HDC中使用勾股定理*)
    
14.         HD>=0&&CD>=0(*限制变量范围*)
    
15.     }
    
16. ,{HA,HB,HC,HD,CD}]//FullSimplify
    

复制代码

两个合并成一个,求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3},\text{HD}\to \frac{1}{3},\text{CD}\to \frac{2 \sqrt{7}}{3}\right\}\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-2-18 11:48
两个合并成一个,求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3},\ ...

稍微换一种解决办法.

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*等边三角形的边长等于a=根号7,∠AHB=120°∠BHC=150,∠CHA=90°利用三次余弦定理解决这个问题*)
   
3. a=Sqrt[7];(*等边三角形的边长*)
   
4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
6. ans=Solve[
   
7.     {
   
8.         cs[HA,HB,a]==Cos[(360-60-90-90)Degree],(*三角形AHB中的余弦定理*)
   
9.         cs[HB,HC,a]==Cos[(60+90)Degree],(*余弦定理*)
   
10.         cs[HC,HA,a]==Cos[(90)Degree],(*余弦定理*)
    
11.         HA>=0&&HB>=0&&HC>=0,(*限制变量范围*)
    
12.         cs[HB,HD,BD]==Cos[60Degree],(*三角形BHD中使用余弦定理*)
    
13.         HD^2+HC^2==CD^2,(*三角形HDC中使用勾股定理*)
    
14.         BD+CD==a,(*很显然成立的*)
    
15.         HD>=0&&BD>=0&&CD>=0(*限制变量范围*)
    
16.     }
    
17. ,{HA,HB,HC,HD,BD,CD}]//FullSimplify
    

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{\text{HA}\to 2,\text{HB}\to 1,\text{HC}\to \sqrt{3},\text{HD}\to \frac{1}{3},\text{BD}\to \frac{\sqrt{7}}{3},\text{CD}\to \frac{2 \sqrt{7}}{3}\right\}\right\}\]

mathematica

@mathe @hujunhua @chyanog @wayne @hejoseph @kastin
你们有什么好的求解办法?

mathematica

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... F%C8%FD%BD%C7%D0%CE

王守恩

杀鸡焉用牛刀！跟着各位大神也有段时间了，我先上阵。
P是AH上的点，作∠PCH=30，则三角形APC≌三角形AHB,
作∠APC平分线E(E属于CA)，则三角形BDH:三角形PCE=1:2

mathe

H绕B逆时针转60度可得HA，HB，HC长度。计算面积比可得AH:AD=6:7

aimisiyou

延长AH至E，使得三角形BHE为等边三角形（边长为x），可得三角形ABH全等于三角形BEC，角BAH=角BCE，故ABCE四点共圆，可得角AEC=60,设BH=x,HD=y,则（2x）^2+3x^2=7,x=1.又因三角形ADC相似于三角形ACE，故AC^2=AD*AE=(2x+y)*3x=7,故y=1/3

mathematica

aimisiyou 发表于 2021-2-18 21:09
延长AH至E，使得三角形BHE为等边三角形（边长为x），可得三角形ABH全等于三角形BEC，角BAH=角BCE，故ABCE四 ...

什么专业的？居然也用CAD！机械？