如图,∠ACB=90° ,AC=BC,∠AEB=135°,AD=4,BD=2,求CE的长
如图,∠ACB=90° ,AC=BC,∠AEB=135°,AD=4,BD=2,求CE的长.初中数学经典好题
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-2*a*b*Cos==c^2)
CA=CB=Sqrt;
AB=4+2;
(*三次使用余弦定理,建立三个方程求解EC EA EB三个未知量*)
ans=Solve[{
cs],(*△ACE余弦定理,∠ACE的正切是2*)
cs],(*△BCE余弦定理,∠BCE的正切是1/2*)
cs(*△AEB余弦定理*)
},{EC,EA,EB}]//FullSimplify//ToRadicals;
Grid
Grid
求解结果
\[\begin{array}{lll}
\text{EC}\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}} & \text{EA}\to -6 \sqrt{\frac{2}{5}} & \text{EB}\to -\frac{6}{\sqrt{5}} \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}} & \text{EA}\to 6 \sqrt{\frac{2}{5}} & \text{EB}\to \frac{6}{\sqrt{5}} \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{10} & \text{EA}\to -6 \sqrt{2} & \text{EB}\to 6 \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{10} & \text{EA}\to 6 \sqrt{2} & \text{EB}\to -6 \\
\text{EC}\to -3 \sqrt{2} & \text{EA}\to -6 \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{5}}} & \text{EB}\to 6 \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \\
\text{EC}\to -3 \sqrt{2} & \text{EA}\to \sqrt{36+\frac{36}{\sqrt{5}}} & \text{EB}\to -6 \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{2} & \text{EA}\to -6 \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{5}}} & \text{EB}\to -6 \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{2} & \text{EA}\to 6 \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{5}}} & \text{EB}\to 6 \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{lll}
\text{EC}\to 1.89737 & \text{EA}\to -3.79473 & \text{EB}\to -2.68328 \\
\text{EC}\to 1.89737 & \text{EA}\to 3.79473 & \text{EB}\to 2.68328 \\
\text{EC}\to 9.48683 & \text{EA}\to -8.48528 & \text{EB}\to 6. \\
\text{EC}\to 9.48683 & \text{EA}\to 8.48528 & \text{EB}\to -6. \\
\text{EC}\to -4.24264 & \text{EA}\to -7.21801 & \text{EB}\to 8.25829 \\
\text{EC}\to -4.24264 & \text{EA}\to 7.21801 & \text{EB}\to -8.25829 \\
\text{EC}\to 4.24264 & \text{EA}\to -4.46098 & \text{EB}\to -1.94952 \\
\text{EC}\to 4.24264 & \text{EA}\to 4.46098 & \text{EB}\to 1.94952 \\
\end{array}\] Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*利用解析几何的办法来求解问题,原点在A点,C点在y轴正半轴*)
{xc,yc}={0,6/Sqrt};
{xd,yd}={4,4}/Sqrt;
ans=Solve[{
Det[{{xc,yc,1},{xe,ye,1},{xd,yd,1}}]==0,(*CED三点共线*)
(xe-6/Sqrt)^2+(ye-0)^2==(6/Sqrt)^2,(*∠AEB=135°,所以E点在圆弧上*)
CE==Sqrt[(xc-xe)^2+(yc-ye)^2]
},{xe,ye,CE}]//FullSimplify
\[\left\{\left\{\text{xe}\to \frac{6 \sqrt{2}}{5},\text{ye}\to \frac{12 \sqrt{2}}{5},\text{CE}\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}}\right\},\left\{\text{xe}\to 6 \sqrt{2},\text{ye}\to 0,\text{CE}\to 3 \sqrt{10}\right\}\right\}\] @王守恩 来试试这题,初中几何题,从抖音上看到的 本帖最后由 王守恩 于 2021-3-6 15:49 编辑
显见：\(CA=CB=\sqrt{18}\ \ \ \ \ CD=\sqrt{10}\)
设\(CE=x\) 根据角分线：\(\frac{2x}{(\sqrt{10}-x)^2}=\frac{(\sqrt{18})^2}{4x}\)
注意：\(CE<\sqrt{10}\) 王守恩 发表于 2021-3-6 13:59
显见：\(CA=CB=\sqrt{18}\ \ \ \ \ CD=\sqrt{10}\)
设\(CE=x\) 根据角分线：\(\frac{2x}{(\sqrt{10}-x ...
那一条是角平分线呀？ 本帖最后由 王守恩 于 2021-3-6 16:06 编辑
mathematica 发表于 2021-3-6 15:30
那一条是角平分线呀？
显见：\(CA=CB=\sqrt{18}\ \ \ \ \ CD=\sqrt{10}\)
设\(CE=x\) 根据角分线：
\(\frac{2*x*\sin(45-\theta)}{\sqrt{18}*(\sqrt{10}-x)*\sin(\theta)}=\frac{\sqrt{18}*(\sqrt{10}-x)*\sin(45-\theta)}{4*x*\sin(\theta)}=1\)
化简：\(\frac{2x}{(\sqrt{10}-x)^2}=\frac{(\sqrt{18})^2}{4x}\)
再化简：\(x=\sqrt{\frac{18}{5}}\)
本帖最后由 王守恩 于 2021-3-6 17:03 编辑
可以这样看。
\(AC=CB=\sqrt{45},BD=\sqrt{10},DA=\sqrt{40},AE=\sqrt{36},EB=\sqrt{18},DE=\sqrt{4},EC=\sqrt{9}\) 王守恩 发表于 2021-3-6 17:02
可以这样看。
\(AC=CB=\sqrt{45},BD=\sqrt{10},DA=\sqrt{40},AE=\sqrt{36},EB=\sqrt{18},DE=\sqrt{4},EC ...
我要的是思维过程！ 这题也可以用正弦定理解决，
也可以用解析几何斜率夹角的办法解决