如图,∠ACB=90° ,AC=BC,∠AEB=135°,AD=4,BD=2,求CE的长

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如图,∠ACB=90° ,AC=BC,∠AEB=135°,AD=4,BD=2,求CE的长.
初中数学经典好题

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1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_,x_]:=(a^2+b^2-2*a*b*Cos[x]==c^2)
   
4. CA=CB=Sqrt[18];
   
5. AB=4+2;
   
6. (*三次使用余弦定理,建立三个方程求解EC EA EB三个未知量*)
   
7. ans=Solve[{
   
8.     cs[CA,EC,EA,ArcTan[2]],(*△ACE余弦定理,∠ACE的正切是2*)
   
9.     cs[CB,EC,EB,ArcTan[1/2]],(*△BCE余弦定理,∠BCE的正切是1/2*)
   
10.     cs[EA,EB,AB,135*Degree](*△AEB余弦定理*)
    
11. },{EC,EA,EB}]//FullSimplify//ToRadicals;
    
12. Grid[ans,Alignment->Left]
    
13. Grid[N@ans,Alignment->Left]
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{lll}
\text{EC}\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}} & \text{EA}\to -6 \sqrt{\frac{2}{5}} & \text{EB}\to -\frac{6}{\sqrt{5}} \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}} & \text{EA}\to 6 \sqrt{\frac{2}{5}} & \text{EB}\to \frac{6}{\sqrt{5}} \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{10} & \text{EA}\to -6 \sqrt{2} & \text{EB}\to 6 \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{10} & \text{EA}\to 6 \sqrt{2} & \text{EB}\to -6 \\
\text{EC}\to -3 \sqrt{2} & \text{EA}\to -6 \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{5}}} & \text{EB}\to 6 \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \\
\text{EC}\to -3 \sqrt{2} & \text{EA}\to \sqrt{36+\frac{36}{\sqrt{5}}} & \text{EB}\to -6 \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{2} & \text{EA}\to -6 \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{5}}} & \text{EB}\to -6 \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \\
\text{EC}\to 3 \sqrt{2} & \text{EA}\to 6 \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{5}}} & \text{EB}\to 6 \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{lll}
\text{EC}\to 1.89737 & \text{EA}\to -3.79473 & \text{EB}\to -2.68328 \\
\text{EC}\to 1.89737 & \text{EA}\to 3.79473 & \text{EB}\to 2.68328 \\
\text{EC}\to 9.48683 & \text{EA}\to -8.48528 & \text{EB}\to 6. \\
\text{EC}\to 9.48683 & \text{EA}\to 8.48528 & \text{EB}\to -6. \\
\text{EC}\to -4.24264 & \text{EA}\to -7.21801 & \text{EB}\to 8.25829 \\
\text{EC}\to -4.24264 & \text{EA}\to 7.21801 & \text{EB}\to -8.25829 \\
\text{EC}\to 4.24264 & \text{EA}\to -4.46098 & \text{EB}\to -1.94952 \\
\text{EC}\to 4.24264 & \text{EA}\to 4.46098 & \text{EB}\to 1.94952 \\
\end{array}\]

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1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*利用解析几何的办法来求解问题,原点在A点,C点在y轴正半轴*)
   
3. {xc,yc}={0,6/Sqrt[2]};
   
4. {xd,yd}={4,4}/Sqrt[2];
   
5. ans=Solve[{
   
6.     Det[{{xc,yc,1},{xe,ye,1},{xd,yd,1}}]==0,(*CED三点共线*)
   
7.     (xe-6/Sqrt[2])^2+(ye-0)^2==(6/Sqrt[2])^2,(*∠AEB=135°,所以E点在圆弧上*)
   
8.     CE==Sqrt[(xc-xe)^2+(yc-ye)^2]
   
9. },{xe,ye,CE}]//FullSimplify
   

复制代码

\[\left\{\left\{\text{xe}\to \frac{6 \sqrt{2}}{5},\text{ye}\to \frac{12 \sqrt{2}}{5},\text{CE}\to 3 \sqrt{\frac{2}{5}}\right\},\left\{\text{xe}\to 6 \sqrt{2},\text{ye}\to 0,\text{CE}\to 3 \sqrt{10}\right\}\right\}\]

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@王守恩 来试试这题,初中几何题,从抖音上看到的

王守恩

显见：\(CA=CB=\sqrt{18}\ \ \ \ \ CD=\sqrt{10}\)

设\(CE=x\)   根据角分线：\(\frac{2x}{(\sqrt{10}-x)^2}=\frac{(\sqrt{18})^2}{4x}\)

注意：\(CE<\sqrt{10}\)

mathematica

王守恩 发表于 2021-3-6 13:59
显见：\(CA=CB=\sqrt{18}\ \ \ \ \ CD=\sqrt{10}\)

设\(CE=x\)   根据角分线：\(\frac{2x}{(\sqrt{10}-x ...

那一条是角平分线呀？

王守恩

mathematica 发表于 2021-3-6 15:30
那一条是角平分线呀？

显见：\(CA=CB=\sqrt{18}\ \ \ \ \ CD=\sqrt{10}\)

设\(CE=x\)   根据角分线：

\(\frac{2*x*\sin(45-\theta)}{\sqrt{18}*(\sqrt{10}-x)*\sin(\theta)}=\frac{\sqrt{18}*(\sqrt{10}-x)*\sin(45-\theta)}{4*x*\sin(\theta)}=1\)

化简：\(\frac{2x}{(\sqrt{10}-x)^2}=\frac{(\sqrt{18})^2}{4x}\)

再化简：\(x=\sqrt{\frac{18}{5}}\)

王守恩

可以这样看。

\(AC=CB=\sqrt{45},BD=\sqrt{10},DA=\sqrt{40},AE=\sqrt{36},EB=\sqrt{18},DE=\sqrt{4},EC=\sqrt{9}\)

mathematica

王守恩 发表于 2021-3-6 17:02
可以这样看。

\(AC=CB=\sqrt{45},BD=\sqrt{10},DA=\sqrt{40},AE=\sqrt{36},EB=\sqrt{18},DE=\sqrt{4},EC ...

我要的是思维过程！

mathematica

这题也可以用正弦定理解决，
也可以用解析几何斜率夹角的办法解决