试比较7^71和75^32的大小
给你一张草稿纸和一支笔，不借助其他电子设备，试比较$7^71$和$75^32$哪个更大。 看到了$7^71$这种数字，就知道是精心设计的。 那么，其实完全可以老老实实的，计算$71*ln7$跟$32ln75 = 32(2ln5+ln3)$就行啦。。。根据渐近分数搜了下。发现没有比楼主的更好，其他的较次的case有
{7,75,32/71}
{90,106,55/57}
{65,95,11/12}
{49,75,64/71}
{26,278,11/19}
{17,90,17/27}
{133,229,9/10}
{108,279,74/89}
{90,289,27/34}
{82,230,47/58}
{247,285,77/79}
{152,297,15/17}
{63,97,48/53}
{102,135,33/35}
{71,294,3/4}
{20,224,31/56}
{235,263,97/99}
{69,149,11/13}
{5,192,15/49}
{5,269,21/73}
{87,195,83/98}
{209,241,75/77}
{74,83,75/77}
{69,227,32/41}
{119,227,37/42}
{99,155,41/45}
{129,279,63/73}
{59,74,18/19}
{126,243,81/92}
{54,75,85/92}
{15,87,57/94}
{87,225,47/57}
{70,223,11/14}
{267,294,58/59}
{29,182,11/17}
{45,58,15/16}
{126,264,85/98}
{163,174,78/79}
{18,235,9/17}
{203,286,31/33}
{208,278,92/97}
{188,222,63/65}
{34,86,19/24}
{25,192,30/49}
{56,275,43/60}
{23,99,58/85}
{25,269,42/73}
{146,254,9/10}
{186,272,55/59}
{72,274,16/21}
07^71=1004525211269079039999221534496697502180541686174722466474743
75^32=1004524257206332858195774182519244277500547468662261962890625
用笔慢慢计算吧,反正就是四则混合运算,我差一点就上你的当用笔计算,我现在用mathematica计算的,
mathematica万岁!
为了笔算任意 正整数的自然对数 。咱们可以利用$ln(1+x)$和$ln(1-x)$： $ln(1+x)-ln(1-x) = 2\sum _{k=1}^{\infty } \frac{x^{2k-1}}{2k-1}$，反过来就是$lnx = 2\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}(\frac{x-1}{x+1})^{2k-1},x>0$ 搜了下Wikipedia，立马得到了另外两种更高效的方法,
方法一：利用空间换取时间。存储较小素数的对数值，递推得出更高的素数的对数值。递推计算是 根据$ln(n+1)-lnn = ln(1+\frac{1}{n})$的展开式，可以依次计算$ln2,ln3,ln5,ln7$的， 碰巧咱们的题目里 $ln75 = 2ln5+ln3$，都是小素数，所以不难从$ln2$作为起点，计算出$\frac{ln75}{ln7}$的值
方法二： 要用上AGM公式。 $lnx ~ \frac{\pi}{2M(1,2^{2-m}/x)} -m ln(2)$ , 其中 $M(x,y)$是算术几何平均数的计算。用$x_{n+1} =1/2(x_n+y_n),y_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}$无穷的递归，直到$x_n~y_n$收敛。需要选择合适的$m$, $x*2^m>2^{p/2}$,其中$2^{-p}$是$lnx$要达到的计算精度。
如果是基于已知的值，再计算新的值，那就玩法很多了，套路就是变换到 尽可能的接近于1的值，然后泰勒展开。$ln7 = 3ln2+ln(1-1/8)$, $ln75=2*ln10 + ln(1-1/4)$，如果你不记住$ln2,ln10$的较高精度的值作为锚点，你就只能继续计算了。。。 $7^71-75^32=9.5406274629307*10^53$,差值也是天文数字 本帖最后由 王守恩 于 2021-3-12 19:11 编辑
mathematica 发表于 2021-3-11 17:24
07^71=1004525211269079039999221534496697502180541686174722466474743
75^32=1004524257206332858195774 ...
一张草稿纸(可能不够，最好允许方格纸)，你会成功的！
估计一下：\(7^{71}<10^{71}\ \ \ 75^{32}=(\frac{3}{4}*100)^{32}<10^{64}\)
也就是6000（64*(103+94)/2）个数字。
(01)：34300
(02)： 686 (1)*2
(03)：33614 (1)-(2)
(04)：1680700 (3)/2
(05)： 33614 (4)*2
(06)：1647086 (4)-(5)
(07)：82354300 (6)/2
(08)：1647086 (7)*2
(09)：80707214 (7)-(8)
(10)：4035360700 (9)/2
(11)： 80707214 (10)*2
(12)：3954653486 (10)-(11)
(13)：197732674300 (12)/2
(14)： 3954653486 (13)*2
(15)：193778020814 (13)-(14)
(16)：9688901040700 (15)/2
(17)：193778020814
(18)：9495123019886
(19)：474756150994300
(20)：
..........
(103)：
(01)： 750
(02)： 375 (1)/2
(03)：1125 (1)+(2)
(04)：56250 (3)/2
(05)：28125 (4)/2
(06)：84375 (4)+(5)
(07)：4218750 (6)/2
(08)：2109375 (7)/2
(09)：6328125 (7)+(8)
(10)：316406250 (9)/2
(11)：158203125 (10)/2
(12)：474609375 (10)+(11)
(13)：23730468750 (12)/2
(14)：11865234375 (13)/2
(15)：35595703125 (13)+(14)
(16)：1779785156250 (15)/2
(17)：889892578125
(18)：2669677734375
(19)：133483886718750
(20)：
..........
(94)：
$7^4-1=2400=75*32$
$7^72-7*75^32=(32*75+1)^18-7*75^32>32^18*75^18+18*32^17*75^17+153*32^16*75^16-7*75^32$
$>75^16(2^90*75^2+18*2^85*75+150*2^80-7*75^16)$
$=75^17(2^90*75+18*2^85+2^81-7*75^15)$
$=75^17(2^81(2^9*75+18*2^4+1)-7*75^15)$
$=75^17(2^81*7*5527-7*75^15)$
$=7*75^17(2^81*5527-75^15)$
$2^81*5527-75^15= 47 * 80471 * 1321967461494917$
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