试比较7^71和75^32的大小

lsr314

给你一张草稿纸和一支笔，不借助其他电子设备，试比较$7^71$和$75^32$哪个更大。

wayne

看到了$7^71$这种数字，就知道是精心设计的。 那么，其实完全可以老老实实的，计算$71*ln7$跟$32ln75 = 32(2ln5+ln3)$就行啦。。。

wayne

根据渐近分数搜了下。发现没有比楼主的更好，其他的较次的case有

1. {7,75,32/71}
   
2. {90,106,55/57}
   
3. {65,95,11/12}
   
4. {49,75,64/71}
   
5. {26,278,11/19}
   
6. {17,90,17/27}
   
7. {133,229,9/10}
   
8. {108,279,74/89}
   
9. {90,289,27/34}
   
10. {82,230,47/58}
    
11. {247,285,77/79}
    
12. {152,297,15/17}
    
13. {63,97,48/53}
    
14. {102,135,33/35}
    
15. {71,294,3/4}
    
16. {20,224,31/56}
    
17. {235,263,97/99}
    
18. {69,149,11/13}
    
19. {5,192,15/49}
    
20. {5,269,21/73}
    
21. {87,195,83/98}
    
22. {209,241,75/77}
    
23. {74,83,75/77}
    
24. {69,227,32/41}
    
25. {119,227,37/42}
    
26. {99,155,41/45}
    
27. {129,279,63/73}
    
28. {59,74,18/19}
    
29. {126,243,81/92}
    
30. {54,75,85/92}
    
31. {15,87,57/94}
    
32. {87,225,47/57}
    
33. {70,223,11/14}
    
34. {267,294,58/59}
    
35. {29,182,11/17}
    
36. {45,58,15/16}
    
37. {126,264,85/98}
    
38. {163,174,78/79}
    
39. {18,235,9/17}
    
40. {203,286,31/33}
    
41. {208,278,92/97}
    
42. {188,222,63/65}
    
43. {34,86,19/24}
    
44. {25,192,30/49}
    
45. {56,275,43/60}
    
46. {23,99,58/85}
    
47. {25,269,42/73}
    
48. {146,254,9/10}
    
49. {186,272,55/59}
    
50. {72,274,16/21}
    
51. 
    

复制代码

mathematica

07^71=1004525211269079039999221534496697502180541686174722466474743
75^32=1004524257206332858195774182519244277500547468662261962890625
用笔慢慢计算吧,反正就是四则混合运算,我差一点就上你的当用笔计算,我现在用mathematica计算的,
mathematica万岁!

wayne

为了笔算任意 正整数的自然对数 。咱们可以利用$ln(1+x)$和$ln(1-x)$： $ln(1+x)-ln(1-x) = 2\sum _{k=1}^{\infty } \frac{x^{2k-1}}{2k-1}$，反过来就是$lnx = 2\sum _{k=1}^{\infty }  \frac{1}{2k-1}(\frac{x-1}{x+1})^{2k-1},  x>0$

wayne

搜了下Wikipedia，立马得到了另外两种更高效的方法,
方法一：利用空间换取时间。存储较小素数的对数值，递推得出更高的素数的对数值。递推计算是 根据$ln(n+1)-lnn = ln(1+\frac{1}{n})$的展开式，可以依次计算$ln2,ln3,ln5,ln7$的， 碰巧咱们的题目里 $ln75 = 2ln5+ln3$，都是小素数，所以不难从$ln2$作为起点，计算出$\frac{ln75}{ln7}$的值

方法二： 要用上AGM公式。 $lnx ~ \frac{\pi}{2M(1,2^{2-m}/x)} -m ln(2)$ , 其中 $M(x,y)$是算术几何平均数的计算。用$x_{n+1} =1/2(x_n+y_n),y_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}$无穷的递归，直到$x_n~y_n$收敛。需要选择合适的$m$, $x*2^m>2^{p/2}$,其中$2^{-p}$是$lnx$要达到的计算精度。

wayne

如果是基于已知的值，再计算新的值，那就玩法很多了，套路就是变换到 尽可能的接近于1的值，然后泰勒展开。$ln7 = 3ln2+ln(1-1/8)$, $ln75=2*ln10 + ln(1-1/4)$，如果你不记住$ln2,ln10$的较高精度的值作为锚点，你就只能继续计算了。。。

northwolves

$7^71-75^32=9.5406274629307*10^53$,差值也是天文数字

王守恩

mathematica 发表于 2021-3-11 17:24
07^71=1004525211269079039999221534496697502180541686174722466474743
75^32=1004524257206332858195774 ...

一张草稿纸(可能不够，最好允许方格纸)，你会成功的！
估计一下：\(7^{71}<10^{71}\ \ \ 75^{32}=(\frac{3}{4}*100)^{32}<10^{64}\)
也就是6000（64*(103+94)/2）个数字。

(01)：34300
(02)：    686    (1)*2
(03)：33614     (1)-(2)
(04)：1680700    (3)/2
(05)：   33614     (4)*2
(06)：1647086     (4)-(5)
(07)：82354300     (6)/2
(08)：  1647086     (7)*2
(09)：80707214      (7)-(8)
(10)：4035360700     (9)/2
(11)：   80707214      (10)*2
(12)：3954653486      (10)-(11)
(13)：197732674300     (12)/2
(14)：   3954653486      (13)*2
(15)：193778020814      (13)-(14)
(16)：9688901040700       (15)/2
(17)：  193778020814
(18)：9495123019886
(19)：474756150994300
(20)：
..........
(103)：

(01)： 750
(02)： 375    (1)/2
(03)：1125    (1)+(2)
(04)：56250    (3)/2
(05)：28125     (4)/2
(06)：84375     (4)+(5)
(07)：4218750    (6)/2
(08)：2109375     (7)/2
(09)：6328125     (7)+(8)
(10)：316406250    (9)/2
(11)：158203125     (10)/2
(12)：474609375     (10)+(11)
(13)：23730468750    (12)/2
(14)：11865234375      (13)/2
(15)：35595703125      (13)+(14)
(16)：1779785156250    (15)/2
(17)：  889892578125
(18)：2669677734375
(19)：133483886718750
(20)：
..........
(94)：

northwolves

$7^4-1=2400=75*32$

$7^72-7*75^32=(32*75+1)^18-7*75^32>32^18*75^18+18*32^17*75^17+153*32^16*75^16-7*75^32$

$>75^16(2^90*75^2+18*2^85*75+150*2^80-7*75^16)$

$=75^17(2^90*75+18*2^85+2^81-7*75^15)$

$=75^17(2^81(2^9*75+18*2^4+1)-7*75^15)$

$=75^17(2^81*7*5527-7*75^15)$

$=7*75^17(2^81*5527-75^15)$

$2^81*5527-75^15= 47 * 80471 * 1321967461494917$