hyperthread 发表于 2009-10-16 10:45:47

有限域上二次方程组的问题

在有限域Fq上,如下系数为Vandermonde的齐次二次方程组,有非零解(指解的所有分量都不为零)的条件是什么?注:条件主要包含:系数矩阵,Fq

mathe 发表于 2009-10-16 11:10:02

非零解通常是指至少有一个分量非0,而不是所有分量都是非0.
如果允许在扩张域上取值,那么总是有解.
但是不能保证解落在$F_q$上

hyperthread 发表于 2009-10-16 11:22:16

嗯,谢谢回复!这儿和普遍意义上的非零解的含义不同,所以特别注明。说来应该跟alpha和n的值有关系,但总找不到具体的判定条件,只能得到一些特殊情况下的解

mathe 发表于 2009-10-16 11:41:40

这个你直接求解就可以了.
如果$alpha_i$全部不同,那么解必然是唯一的(在其次意义下).
然后判断解中间是否某个系数含0就可以了

mathe 发表于 2009-10-16 12:02:08

看链接随机游走中的概率问题
用里面的方法可以解决这个问题.
记$f(x)=\prod_{t=1}^n(x-\alpha_t)$
那么可以得到$v_t^2=-{f(0)}/{f'(\alpha_t)}$

mathe 发表于 2009-10-16 12:05:18

也就是说如果$\alpha_t$均非0,那么解也非0.

shshsh_0510 发表于 2009-10-16 14:09:11

如果只有一个分量不为0,没有限制。
如果全部不为0,只需对所有i,j有 αi<>αj.

mathe 发表于 2009-10-16 14:18:10

需要合并我们的结论:
i)如果所有的$\alpha_t$互不相同,如果存在某个$\alpha_t=0$,那么除了$v_t$以外,其他的$v_x$都必须是0.
ii)如果存在至少两个$\alpha_t$相同,但是它们又不全部相同,那么必然有某个$v_x$为0
iii)如果所有$\alpha_t$相等,也可以有非零解.

mathe 发表于 2009-10-16 14:22:49

嗯,我5#弄错了,其实解只要$v_t^2=c/{f'(\alpha_t)}$,其中c是一个待定系数.

hyperthread 发表于 2009-10-16 15:53:17

非常感谢mathe和shshsh_0510的答复,有个条件忘了说了,alpha是有限域中两两不等的元素。
仍有两个问题:
一是系数矩阵不是满秩的((n-1)×n),所以解应该不是唯一的;
二是求出v^2在有限域上不一定就真是二次剩余,所以还需要排除一部分解。
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