有限域上二次方程组的问题

hyperthread

在有限域Fq上，如下系数为Vandermonde的齐次二次方程组，有非零解（指解的所有分量都不为零）的条件是什么？注：条件主要包含：系数矩阵，Fq

mathe

非零解通常是指至少有一个分量非0,而不是所有分量都是非0. 如果允许在扩张域上取值,那么总是有解. 但是不能保证解落在$F_q$上

hyperthread

嗯，谢谢回复！这儿和普遍意义上的非零解的含义不同，所以特别注明。说来应该跟alpha和n的值有关系，但总找不到具体的判定条件，只能得到一些特殊情况下的解

mathe

这个你直接求解就可以了. 如果$alpha_i$全部不同,那么解必然是唯一的(在其次意义下). 然后判断解中间是否某个系数含0就可以了

mathe

看链接随机游走中的概率问题 用里面的方法可以解决这个问题. 记$f(x)=\prod_{t=1}^n(x-\alpha_t)$ 那么可以得到$v_t^2=-{f(0)}/{f'(\alpha_t)}$

mathe

也就是说如果$\alpha_t$均非0,那么解也非0.

shshsh_0510

如果只有一个分量不为0，没有限制。 如果全部不为0，只需对所有i,j有 αi<>αj.

mathe

需要合并我们的结论: i)如果所有的$\alpha_t$互不相同,如果存在某个$\alpha_t=0$,那么除了$v_t$以外,其他的$v_x$都必须是0. ii)如果存在至少两个$\alpha_t$相同,但是它们又不全部相同,那么必然有某个$v_x$为0 iii)如果所有$\alpha_t$相等,也可以有非零解.

mathe

嗯,我5#弄错了,其实解只要$v_t^2=c/{f'(\alpha_t)}$,其中c是一个待定系数.

hyperthread

非常感谢mathe和shshsh_0510的答复，有个条件忘了说了，alpha是有限域中两两不等的元素。 仍有两个问题： 一是系数矩阵不是满秩的（(n-1)×n），所以解应该不是唯一的； 二是求出v^2在有限域上不一定就真是二次剩余，所以还需要排除一部分解。