一道数学或者概率相关题目
有趣的概率问题假设一家店有四种口味的面,每天老板会推出其中一种,那么顾客平均要去多少次才能把四重口味的面都吃一遍?说明:老板推出哪种面没有任何规律,都是随机的.
每天去吃一种面,平均要多少天才能吃完4种面. 假设刚好第n天第一次吃到第四种面的概率为P(n). n>=4
设$S(n)=\sum_{i=4}^{n}i*P(i)$
那么本题所求的天数期望值就等于n趋向于无穷时S(n)的极限。
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设第b天第一次吃到第2种面，
第c天第一次吃到第3种面，
第n天第一次吃到第4种面，
那么该情况的概率为 4*3*2^(c-b-1)*2*3^(n-c-1)/4^n=2^(c-b)*3^(n-c)/4^(n-1)
利用上述概率公式编程计算，得：
S(40)=11.5529006175298
S(60)=11.555543309187
S(80)=11.5555555045703
S(100)=11.5555555553393
故猜测极限等于104/9 程序设计有点失误，第一次吃到第1种面应该固定为第一天，修改后得：
S(40)=8.33156337457401
S(60)=8.33332516909273
S(80)=8.33333329935102
S(100)=8.33333333319856
极限值应为25/3 3# 056254628
在别的地方看到的,还是这里的解答高 我们可以计数所有长度为n,含有4个不同字母的序列，其中
a(n)表示所有只有一个字母的序列数目
b(n)表示所有正好含有两个不同字母的序列数目
c(n)表示所有正好含有三个不同字母的序列数目
d(n)表示所有正好含有四个不同字母的序列数目
于是a(n)=4
b(n+1)=b(n)*2+a(n)*3
c(n+1)=c(n)*3+b(n)*2
d(n+1)=d(n)*4+c(n)*1
然后求解就可以了 上面方程可以写成
$[(a(n+1)),(b(n+1)),(c(n+1)),(d(n+1))]=[(1,0,0,0),(3,2,0,0),(0,2,3,0),(0,0,1,4)][(a(n)),(b(n)),(c(n)),(d(n))]$
所以
$[(a(n)),(b(n)),(c(n)),(d(n))]=[(1,0,0,0),(3,2,0,0),(0,2,3,0),(0,0,1,4)]^{n-1}[(4),(0),(0),(0)]$
由于上面矩阵的4个特征根为1,2,3,4,我们可以假设
$d(n)=a+b*2^n+c*3^n+d*4^n$
由d(1)=d(2)=d(3)=0,d(4)=24得出
$d(n)=-4+6*2^n-4*3^n+4^n$
这个好像通过容斥原理也可以得出 然后就简单了。$P(n)={d(n)}/{4^n}-{d(n-1)}/{4^{n-1}}$,求解就可以了
于是结果可以写成$lim_{n->infty}(n+1)*{d(n+1)}/{4^{n+1}}-sum_{k=1}^n(-4/{4^k}+6/{2^k}-4*(3/4)^k+1)=25/4$ 本题直接计算下式极限即可：
S(n)=$\sum_{n=4}^{n}n*(\sum_{b=2}^{n-2}(\sum_{c=b+1}^{n-1}(2^(c-b)*3^(n-c))/4^(n-1)))$
=$\sum_{n=4}^{n}n*( 4 / 3 * (3 / 4) ^ n - 6 * (1 / 2) ^ n + 12 * (1 / 4) ^ n)$
$\lim_{n->oo}S(n)=25/3$
楼上25/4的结果是错误的。可以让电脑模拟吃面随机过程，得到天数期望的近似值来检验。 呵呵，输入错误 解法真多呢
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