一道数学或者概率相关题目

〇〇

假设一家店有四种口味的面,每天老板会推出其中一种,那么顾客平均要去多少次才能把四重口味的面都吃一遍? 说明:老板推出哪种面没有任何规律,都是随机的. 每天去吃一种面,平均要多少天才能吃完4种面.

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假设刚好第n天第一次吃到第四种面的概率为P(n). n>=4 设$S(n)=\sum_{i=4}^{n}i*P(i)$ 那么本题所求的天数期望值就等于n趋向于无穷时S(n)的极限。 ---------------------------------- 设第b天第一次吃到第2种面， 第c天第一次吃到第3种面， 第n天第一次吃到第4种面， 那么该情况的概率为 4*3*2^(c-b-1)*2*3^(n-c-1)/4^n=2^(c-b)*3^(n-c)/4^(n-1) 利用上述概率公式编程计算，得： S(40) =11.5529006175298 S(60) =11.555543309187 S(80) =11.5555555045703 S(100)=11.5555555553393 故猜测极限等于104/9

056254628

程序设计有点失误，第一次吃到第1种面应该固定为第一天，修改后得： S(40)=8.33156337457401 S(60)=8.33332516909273 S(80)=8.33333329935102 S(100)=8.33333333319856 极限值应为25/3

〇〇

3# 056254628 在别的地方看到的,还是这里的解答高

mathe

我们可以计数所有长度为n,含有4个不同字母的序列，其中 a(n)表示所有只有一个字母的序列数目 b(n)表示所有正好含有两个不同字母的序列数目 c(n)表示所有正好含有三个不同字母的序列数目 d(n)表示所有正好含有四个不同字母的序列数目 于是a(n)=4 b(n+1)=b(n)*2+a(n)*3 c(n+1)=c(n)*3+b(n)*2 d(n+1)=d(n)*4+c(n)*1 然后求解就可以了

mathe

上面方程可以写成 $[(a(n+1)),(b(n+1)),(c(n+1)),(d(n+1))]=[(1,0,0,0),(3,2,0,0),(0,2,3,0),(0,0,1,4)][(a(n)),(b(n)),(c(n)),(d(n))]$ 所以 $[(a(n)),(b(n)),(c(n)),(d(n))]=[(1,0,0,0),(3,2,0,0),(0,2,3,0),(0,0,1,4)]^{n-1}[(4),(0),(0),(0)]$ 由于上面矩阵的4个特征根为1,2,3,4,我们可以假设 $d(n)=a+b*2^n+c*3^n+d*4^n$ 由d(1)=d(2)=d(3)=0,d(4)=24得出 $d(n)=-4+6*2^n-4*3^n+4^n$ 这个好像通过容斥原理也可以得出

mathe

然后就简单了。$P(n)={d(n)}/{4^n}-{d(n-1)}/{4^{n-1}}$,求解就可以了 于是结果可以写成$lim_{n->infty}(n+1)*{d(n+1)}/{4^{n+1}}-sum_{k=1}^n(-4/{4^k}+6/{2^k}-4*(3/4)^k+1)=25/4$

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本题直接计算下式极限即可： S(n)=$\sum_{n=4}^{n}n*(\sum_{b=2}^{n-2}(\sum_{c=b+1}^{n-1}(2^(c-b)*3^(n-c))/4^(n-1)))$ =$\sum_{n=4}^{n}n*( 4 / 3 * (3 / 4) ^ n - 6 * (1 / 2) ^ n + 12 * (1 / 4) ^ n)$ $\lim_{n->oo}S(n)=25/3$ 楼上25/4的结果是错误的。可以让电脑模拟吃面随机过程，得到天数期望的近似值来检验。

mathe

呵呵，输入错误

〇〇

解法真多呢