求极限
lim_{n->\oo}n\prod _{m=1}^n (\frac{5}{4m^2}-\frac{1}{m}+1) with m as(select level l from dual connect by level<=1E6)
select power(10,sum (log(10,5/4/l/l-1/l+1 ))
)*1E6 k
from m;
3.68982872 1/{Gamma(1/2-i)*Gamma(1/2+i)}=3.689833328 本帖最后由 wayne 于 2009-10-29 21:32 编辑
3# 数学星空
别只给答案啊，
光给答案我也会：
\frac{Cosh\pi}{\pi }=3.6898333277790746985
可否给出计算过程来。。。 $\frac{5}{4m^2}-\frac{1}{m}+1$
=$frac{4m^2-4m+5}{4m^2}$
=$frac{(m-1/2-i)(m- 1/2+i)}{m^2}$ 本帖最后由 数学星空 于 2009-10-29 22:12 编辑
呵,利用了一个公式,prod_(m=1)^n(1-a/m)={Gamma(n+1-a)}/{Gamma(n+1)*Gamma(1-a)}........(1)
又prod_(m=1)^n(1-1/m+5/{4*m^2})=prod_(m=1)^n((1-{1+2*i}/{2*m})*(1-{1-2*i}/{2*m}))
直接代入(1)便可计算... very nice 4# wayne
很简洁,怎么推导 把5/4换成4.5/4,极限又是多少 这个应该可以使用复变函数中的无穷乘积理论。不过具体方法我也不会了，都忘了。
但是可以查询 mathworld 得到余弦函数的无穷乘积：
$cos(z)=\prod_{n=1}^{infty}$
可以将题目变换成
$5/4prod_{m=2}^{infty}m/{m-1}(5/{4m^2}-1/m+1)=5/4prod_{m=2}^{infty}{m^2-m+5/4}/{m^2-m}=5/4prod_{m=2}^{infty}{(m-1/2)^2+1}/{(m-1/2)^2-1/4}$
于是上式可以继续变换为
$5/4prod_{m=2}^{infty}{1+1/{(m-1/2)^2}}/{1-1/4*1/{(m-1/2)^2}}$
其中分子可以写成$cos(i\pi)=cosh(pi)$,分母可以用$lim_{z->{pi}/2}{cos(z)}/{z-({pi}/2)^2}$来表示
于是也可以计算出来
这个方法可以解决9#的问题。
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