求极限

wayne

$lim_{n->\oo}n\prod _{m=1}^n (\frac{5}{4m^2}-\frac{1}{m}+1)$

〇〇

with m as
(select level l from dual connect by level<=1E6)
select power(10,sum (log(10,5/4/l/l-1/l+1 ))
)*1E6 k
from m;
3.68982872

数学星空

$1/{Gamma(1/2-i)*Gamma(1/2+i)}=3.689833328$

wayne

3# 数学星空
别只给答案啊，
光给答案我也会：

$\frac{Cosh\pi}{\pi }=3.6898333277790746985$

可否给出计算过程来。。。

056254628

$\frac{5}{4m^2}-\frac{1}{m}+1$
=$frac{4m^2-4m+5}{4m^2}$
=$frac{(m-  1/2-i)(m-   1/2+i)}{m^2}$

数学星空

呵,利用了一个公式,$prod_(m=1)^n(1-a/m)={Gamma(n+1-a)}/{Gamma(n+1)*Gamma(1-a)}$........(1)
又$prod_(m=1)^n(1-1/m+5/{4*m^2})=prod_(m=1)^n((1-{1+2*i}/{2*m})*(1-{1-2*i}/{2*m}))$
直接代入(1)便可计算...

〇〇

very nice

〇〇

4# wayne


很简洁,怎么推导

〇〇

把5/4换成4.5/4,极限又是多少

mathe

这个应该可以使用复变函数中的无穷乘积理论。不过具体方法我也不会了，都忘了。
但是可以查询 mathworld 得到余弦函数的无穷乘积：
$cos(z)=\prod_{n=1}^{infty}[1-{z^2}/{pi^2(n-1/2)^2}]$
可以将题目变换成
$5/4prod_{m=2}^{infty}m/{m-1}(5/{4m^2}-1/m+1)=5/4prod_{m=2}^{infty}{m^2-m+5/4}/{m^2-m}=5/4prod_{m=2}^{infty}{(m-1/2)^2+1}/{(m-1/2)^2-1/4}$
于是上式可以继续变换为
$5/4prod_{m=2}^{infty}{1+1/{(m-1/2)^2}}/{1-1/4*1/{(m-1/2)^2}}$
其中分子可以写成$cos(i\pi)=cosh(pi)$,分母可以用$lim_{z->{pi}/2}{cos(z)}/{z-({pi}/2)^2}$来表示
于是也可以计算出来
这个方法可以解决9#的问题。