求极限

wayne

大家都太有才了

wayne

根据9楼的意思，我用软件算出来：
$lim_{n->\oo}n\prod _{m=1}^n (\frac{a}{4m^2}-\frac{1}{m}+1)$
$=\frac {cos\frac {\sqrt {1 - a}\pi} {2} } {\pi}$

mathe

10#方法最主要在于
在学过复变函数以后，我们看到无穷乘积
$\prod_{m=1}^{infty}(1-{z^2}/{(m-1/2)^2})$
就可以知道，这是一个整函数（全平面解析，除了无穷远点没有极点），而且所有零点在半整数，次数为1
由此我们就可以知道这个函数同$cos(\pi z)$的所有零点相同，也就是这个无穷乘积必然形如
$exp(h(z))cos(\pi z)$,其中$h(z)$是一个解析函数。但是这里这个$h(z)$如何计算我忘了，而这里根据查表结果得出是一个常数函数。

wayne

13# mathe

根据你给的信息，对比一下：
h(z)===0

再根据“数学星空”的解法：

数学星空

呵呵,因为mathe给出的是余弦函数的无穷乘积表达式,而你需要求的是有限乘积,所以结果有差异,
利用公式$Gamma(1/2+n)={(2*n-1)!!}/{2^n}*sqrt(pi)$
               $Gamma(1/2-n)={(-1)^n*2^n}/{(2*n-1)!!}*sqrt(pi)$
                $Gamma(n)*Gamma(1-n)=pi/{sin(pi*n) } $   
               $Gamma(1/2)=sqrt(pi)$
可以对表达式进行化简

〇〇

请问6楼的r代表什么，是r分布函数?

数学星空

$Gamma(s)=int_0^inftyx^(s-1)*e^(-x)dx" where "(s>0)$

数学星空

通常也称为欧拉积分或者欧拉函数

wayne

15# 数学星空

怪我没说清楚
我根据你的思路给出了有限乘积的表达式，只是为了说明无穷乘积的表达式的那个h(z)=0

wayne

16# 〇〇
那r不是r，是希腊字母$\Gamma$
我们可以理解为是阶乘的一种实数范围的推广形式，

将17楼的欧拉积分归一化后，就是gamma分布了