cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1→±A±B±C=？
我们知道，限定A、B、C都在0°到180°之间，那么$A+B+C=180°→cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1$
反过来呢？
三角恒等式
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A=66 B=77，→C=169或37
A=77 B=88，→C=169或15
A=44 B=55，→C=169或81
A=34 B=49，→C=165或97
总结规律就是 A+B+C=180°，或者 -A+B+C=180°.
考虑到对称性，比如可以交换字母A, B, C，也可得到 A-B+C=0，或者 A+B-C=0,
所以应该可以得到±A±B±C=180°
参考代码
Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
a=Cos;
b=Cos;
cond=Det[{{-1,a,b},{a,-1,c},{b,c,-1}}](*约束条件*)
ans=Solve;
aaa=N//Chop
bbb=ArcCos/deg
{58,65} {173.0000000,57.00000000}
{15,12} {153.00000000,177.0000000}
{34,61} {153.0000000,85.000000000}
{69,84} {165.0000000,27.0000000}
{56,27} {151.0000000,97.000000000}
{41,82} {139.00000000,57.00000000}
{60,22} {142.00000000,98.000000000}
{8,60} {128.00000000,112.00000000}
{26,35} {171.0000000,119.00000000}
{32,31} {179.000000,117.00000000}
{20,59} {141.00000000,101.00000000}
{69,88} {161.0000000,23.0000000}
{55,54} {179.000000,71.00000000}
{29,26} {177.000000,125.00000000}
{42,63} {159.0000000,75.00000000}
{28,37} {171.0000000,115.00000000}
{60,67} {173.0000000,53.00000000}
{8,25} {163.0000000,147.00000000}
{27,53} {154.0000000,100.00000000}
{1,5} {176.0000000,174.0000000}
上面是生成的随机两个角度，然后后两个结果是对应的C角度
求解代码
Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
fun:=Module[{a=Cos,b=Cos,cond,ans,aaa,bbb},
cond=-1+a^2+b^2+c^2+2*a*b*c;
ans=Solve;
aaa=N//Chop;
bbb=ArcCos/deg
]
(*随机生成AB两个角,都在0-90°之间*)
aaa=Table[{RandomInteger[{1,89}],RandomInteger[{1,89}]},{k,20}]
bbb={#,fun@@#}&/@aaa
nyy 发表于 2023-3-20 16:25
{58,65} {173.0000000,57.00000000}
{15,12} {153.00000000,177.0000000}
{34,61} {153.0000000,85.00000 ...
角A 角B 角C 角D
58 65 57 173 180
15 12 153 177 180
34 61 85 153 180
69 84 27 165 180
56 27 97 151 180
41 82 57 139 180
60 22 98 142 180
8 60 112 128 180
26 35 119 171 180
32 31 117 179 180
20 59 101 141 180
69 88 23 161 180
55 54 71 179 180
29 26 125 177 180
42 63 75 159 180
28 37 115 171 180
60 67 53 173 180
8 25 147 163 180
27 53 100 154 180
1 5 174 176 180
如果得出abs(A-B)+D=180，那么为什么得不出A+abs(B-D)=180°呢？
58 65 57 173 180
第一行举例
58+65+57=180
65-58+173=180
但是
58+173-65=166而不是180
TrigFactor,b->Cos,c->Cos}]
$2 \cos (x) \cos (y) \cos (z)+\cos ^2(x)+\cos ^2(y)+\cos ^2(z)-1= 4 \cos \left(-\frac{x}{2}+\frac{y}2+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)$
进一步reduce就是 $x+y+z,-x+y+z,x-y+z, x+y-z$ 四个数中任何一个是$(2k+1)\pi$就行. 上面导出的表达式类于海伦公式，令`2p=x+y+z`可简化为以下形式:\[
2 \cos x \cos y \cos z+\cos ^2x+\cos ^2y+\cos ^2z-1=\cos p\cos(p-x) \cos(p-y) \cos (p-z)
\] 哪位活雷锋把我标题改了，
cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1→A+B+C=？
我可从来没表达过这意思，我是要探求ABC三者之间有什么联系的。
还不如改成
cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1能推导出ABC之间啥关系？ 我突然想到了简单的办法来思考这个问题，
也就是画等值面图。
从这个等值面图上可以看出，是几个平面的相交。
代码：
Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;
f=1-2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)/.{a->Cos,b->Cos,c->Cos}
ContourPlot3D
本帖最后由 nyy 于 2023-3-21 09:38 编辑
Clear["Global`*"];
f=1-2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)/.{a->Cos,b->Cos,c->Cos}
g=1+2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)/.{a->Cos,b->Cos,c->Cos}
TrigFactor
TrigFactor
结果
\[-4 \cos \left(-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\]
\
第二个结果与四面体体积公式有关，就是四面体的体积公式
四面体体积公式的海伦公式 nyy 发表于 2023-3-21 09:37
结果
\[-4 \cos \left(-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y ...
https://www.doc88.com/p-7995823499434.html
四面体中一个优美的公式——类海伦公式