cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1→±A±B±C=？

nyy

我们知道，限定A、B、C都在0°到180°之间，那么
$A+B+C=180°→cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1$
反过来呢？

三角恒等式
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nyy

A=66 B=77，→C=169或37
A=77 B=88，→C=169或15
A=44 B=55，→C=169或81
A=34 B=49，→C=165或97

总结规律就是 A+B+C=180°，或者 -A+B+C=180°.
考虑到对称性，比如可以交换字母A, B, C，也可得到 A-B+C=0，或者 A+B-C=0,
所以应该可以得到  ±A±B±C=180°

参考代码

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. a=Cos[66deg];
   
4. b=Cos[77deg];
   
5. cond=Det[{{-1,a,b},{a,-1,c},{b,c,-1}}](*约束条件*)
   
6. ans=Solve[cond==0,{c}];
   
7. aaa=N[ans,10]//Chop
   
8. bbb=ArcCos[c/.aaa]/deg
   

复制代码

nyy

{58,65}        {173.0000000,57.00000000}
{15,12}        {153.00000000,177.0000000}
{34,61}        {153.0000000,85.000000000}
{69,84}        {165.0000000,27.0000000}
{56,27}        {151.0000000,97.000000000}
{41,82}        {139.00000000,57.00000000}
{60,22}        {142.00000000,98.000000000}
{8,60}        {128.00000000,112.00000000}
{26,35}        {171.0000000,119.00000000}
{32,31}        {179.000000,117.00000000}
{20,59}        {141.00000000,101.00000000}
{69,88}        {161.0000000,23.0000000}
{55,54}        {179.000000,71.00000000}
{29,26}        {177.000000,125.00000000}
{42,63}        {159.0000000,75.00000000}
{28,37}        {171.0000000,115.00000000}
{60,67}        {173.0000000,53.00000000}
{8,25}        {163.0000000,147.00000000}
{27,53}        {154.0000000,100.00000000}
{1,5}        {176.0000000,174.0000000}

上面是生成的随机两个角度，然后后两个结果是对应的C角度



求解代码

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. fun[AA_,BB_]:=Module[{a=Cos[AA*deg],b=Cos[BB*deg],cond,ans,aaa,bbb},
   
4.     cond=-1+a^2+b^2+c^2+2*a*b*c;
   
5.     ans=Solve[cond==0,{c}];
   
6.     aaa=N[ans,10]//Chop;
   
7.     bbb=ArcCos[c/.aaa]/deg
   
8. ]
   
9. (*随机生成AB两个角,都在0-90°之间*)
   
10. aaa=Table[{RandomInteger[{1,89}],RandomInteger[{1,89}]},{k,20}]
    
11. bbb={#,fun@@#}&/@aaa
    

复制代码

nyy

nyy 发表于 2023-3-20 16:25
{58,65}        {173.0000000,57.00000000}
{15,12}        {153.00000000,177.0000000}
{34,61}        {153.0000000,85.00000 ...

1. 角A        角B        角C        角D       
   
2. 58        65        57        173        180
   
3. 15        12        153        177        180
   
4. 34        61        85        153        180
   
5. 69        84        27        165        180
   
6. 56        27        97        151        180
   
7. 41        82        57        139        180
   
8. 60        22        98        142        180
   
9. 8        60        112        128        180
   
10. 26        35        119        171        180
    
11. 32        31        117        179        180
    
12. 20        59        101        141        180
    
13. 69        88        23        161        180
    
14. 55        54        71        179        180
    
15. 29        26        125        177        180
    
16. 42        63        75        159        180
    
17. 28        37        115        171        180
    
18. 60        67        53        173        180
    
19. 8        25        147        163        180
    
20. 27        53        100        154        180
    
21. 1        5        174        176        180

复制代码

如果得出abs(A-B)+D=180，那么为什么得不出A+abs(B-D)=180°呢？
58        65        57        173        180
第一行举例
58+65+57=180
65-58+173=180
但是
58+173-65=166而不是180

wayne

1. TrigFactor[a^2+b^2+c^2+2 a b c-1/.{a->Cos[x],b->Cos[y],c->Cos[z]}]

复制代码

$2 \cos (x) \cos (y) \cos (z)+\cos ^2(x)+\cos ^2(y)+\cos ^2(z)-1= 4 \cos \left(-\frac{x}{2}+\frac{y}2+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)$
进一步reduce就是 $x+y+z,-x+y+z,x-y+z, x+y-z$ 四个数中任何一个是$(2k+1)\pi$就行.

nyy

上面导出的表达式类于海伦公式，令`2p=x+y+z`可简化为以下形式:\[
2 \cos x \cos y \cos z+\cos ^2x+\cos ^2y+\cos ^2z-1=\cos p\cos(p-x) \cos(p-y) \cos (p-z)
\]

nyy

哪位活雷锋把我标题改了，
cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1→A+B+C=？
我可从来没表达过这意思，我是要探求ABC三者之间有什么联系的。
还不如改成
cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1能推导出ABC之间啥关系？

nyy

我突然想到了简单的办法来思考这个问题，
也就是画等值面图。

从这个等值面图上可以看出，是几个平面的相交。

代码：

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;
   
3. f=1-2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)/.{a->Cos[x],b->Cos[y],c->Cos[z]}
   
4. ContourPlot3D[f==0,{x,-360deg,360deg},{y,-360deg,360deg},{z,-360deg,360deg}]
   

复制代码

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. f=1-2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)/.{a->Cos[x],b->Cos[y],c->Cos[z]}
   
3. g=1+2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)/.{a->Cos[x],b->Cos[y],c->Cos[z]}
   
4. TrigFactor[f]
   
5. TrigFactor[g]
   

复制代码

结果
\[-4 \cos \left(-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\]

\[4 \sin \left(-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right) \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\]

第二个结果与四面体体积公式有关，就是四面体的体积公式

四面体体积公式的海伦公式

nyy

nyy 发表于 2023-3-21 09:37
结果
\[-4 \cos \left(-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{y ...

https://www.doc88.com/p-7995823499434.html
四面体中一个优美的公式——类海伦公式