cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1→±A±B±C=？

王守恩 · 发表于 2023-3-22 11:33:17

我们知道，限定A、B、C都在0°到180°之间，那么cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1

不就是这样的题？(我还是限制A<B<C)，还是我没看懂题目？

Table[180 - A - B, {A, 1, 59}, {B, A + 1, (180 - A)/2}]

nyy · 发表于 2023-3-22 12:35:08

王守恩发表于 2023-3-22 11:33
我们知道，限定A、B、C都在0°到180°之间，那么cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1

不就是这样的题 ...

简单地说，我就是想知道：
如果cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1，那么ABC三个角之间会有啥关系，是否限定ABC的取值范围并没有多大意义！

王守恩 · 发表于 2023-3-22 16:08:36

nyy 发表于 2023-3-22 12:35
简单地说，我就是想知道：
如果cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1，那么ABC三个角之间会有啥关系， ...

限制A<B<C, 算式(1),算式(2)出来的答案是一样的呀！

算式(1):Table[180 - A - B, {A, 1, 59}, {B, A + 1, (180 - A)/2}]

算式(2):Table[NSolve[{Cos[A \[Pi]/180]^2 + Cos[B \[Pi]/180]^2 + Cos[C \[Pi]/180]^2 + 2 Cos[A \[Pi]/180] Cos[B \[Pi]/180] Cos[C \[Pi]/180] == 1, 90 > C > 0}, {C}], {A, 1, 59}, {B, A + 1, (180 - A)/2}]

nyy · 发表于 2023-3-23 08:57:10

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
f=1+2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)
g=1-2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)
f1=TrigFactor[f/.{a->Sin[x],b->Sin[y],c->Sin[z]}]
g1=TrigFactor[g/.{a->Sin[x],b->Sin[y],c->Sin[z]}]
f2=TrigFactor[f/.{a->Cos[x],b->Cos[y],c->Cos[z]}]
g2=TrigFactor[g/.{a->Cos[x],b->Cos[y],c->Cos[z]}]
f3=TrigFactor[f/.{a->Tan[x],b->Tan[y],c->Tan[z]}]
g3=TrigFactor[g/.{a->Tan[x],b->Tan[y],c->Tan[z]}]
f4=TrigFactor[f/.{a->Cot[x],b->Cot[y],c->Cot[z]}]
g4=TrigFactor[g/.{a->Cot[x],b->Cot[y],c->Cot[z]}]
f5=TrigFactor[f/.{a->Sec[x],b->Sec[y],c->Sec[z]}]
g5=TrigFactor[g/.{a->Sec[x],b->Sec[y],c->Sec[z]}]
f6=TrigFactor[f/.{a->Csc[x],b->Csc[y],c->Csc[z]}]
g6=TrigFactor[g/.{a->Csc[x],b->Csc[y],c->Csc[z]}]

复制代码

看看f5的结果
\[\frac{1}{256} \csc ^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right) \csc ^2\left(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}\right) \csc ^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{y}{2}\right) \csc ^2\left(\frac{\pi }{4}+\frac{y}{2}\right) \csc ^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{z}{2}\right) \csc ^2\left(\frac{\pi }{4}+\frac{z}{2}\right) \left(-\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\right) \left(-\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\right)\]

nyy · 发表于 2023-3-27 09:33:56

王守恩发表于 2023-3-22 16:08
限制A 0}, {C}], {A, 1, 59}, {B, A + 1, (180 - A)/2}]

居然有人不懂得如何把代码搞到代码框里面，我真是服了你！

王守恩 · 发表于 2023-3-27 10:20:28

nyy 发表于 2023-3-27 09:33
居然有人不懂得如何把代码搞到代码框里面，我真是服了你！

谢谢 nyy！

算式(1):Table[180 - A - B, {A, 1, 59}, {B, A + 1, (180 - A)/2}]
算式(2):Table[NSolve[{Cos[A\[Pi]/180]^2+Cos[B\[Pi]/180]^2+Cos[C\[Pi]/180]^2+2Cos[A\[Pi]/180]Cos[B\[Pi]/180]Cos[C\[Pi]/180]==1,90>C>0},{C}],{A,1,59},{B,A+1,(180-A)/2}]

复制代码

XIAOWEN · 发表于 2023-4-14 23:21:22

首先，我们利用恒等式cos^2A=1-sin^2A将给定的方程式化为：

1 - sin^2A + 1 - sin^2B + 1 - sin^2C + 2cosAcosBcosC = 1

对此式进行简化得：

sin^2A + sin^2B + sin^2C - 2cosAcosBcosC = 0

接下来，我们可以利用恒等式sin^2A=1-cos^2A将上式进一步化为：

1 - cos^2A + 1 - cos^2B + 1 - cos^2C - 2cosAcosBcosC = 0

对此式进行简化得：

cos^2A + cos^2B + cos^2C - 2cosAcosBcosC = 1

这个表达式与余弦定理相似，余弦定理表明：

cos C = cos A cos B + sin A sin B cos C

将此式与我们的表达式对比，我们可以得出：

cosAcosBcosC = sinA sinB cosC

因此，我们可以将表达式重新写为：

cos^2A + cos^2B + cos^2C - 2sinA sinB cosC = 1

将原方程式代入此式：

1 - 2cosAcosBcosC + 2cosCsinA sinB = 1

对此式进行简化得：

cosAcosBcosC = sinA sinB cosC

将其代回我们之前的表达式：

cos^2A + cos^2B + cos^2C - 2sinA sinB cosC = 1 - 2sin^2A sin^2B sin^2C/cos^2Acos^2Bcos^2C

利用恒等式sin^2x=(1-cos2x)/2可得：

cos^2A + cos^2B + cos^2C - 2sinA sinB cosC = 1 - 2(1-cos2A)(1-cos2B)(1-cos2C)/4cos^2Acos^2Bcos^2C

我们可以继续进行简化：

cos^2A + cos^2B + cos^2C - 2cos2Acos2Bcos2C + 2(1-cos2A)(1-cos2B)(1-cos2C)/2cos^2Acos^2Bcos^2C

将其再次代入我们的表达式：

2cos^2Acos^2Bcos^2C + 2cos^2Acos^2Bcos^2C(cos^2A + cos^2B + cos^2C - 2sinA sinB cosC) = 2cos^2Acos^2Bcos^2C - (1-cos2A)(1-cos2B)(1-cos2C)

再次简化得：

cos^2Acos^2B + cos^2Bcos^2C + cos^2Ccos^2A - sin^2Acos^2Bcos^2C - sin^2Bcos^2Ccos^2A - sin^2Ccos^2Acos^2B + 2sinA sinB cosC(cos^2Acos^2Bcos^2C - cos^2Bcos^2Ccos^2A - cos^2Ccos^2Acos^2B + cos^2Acos^2B + cos^2Bcos^2C + cos^2Ccos^2A)

再次简化可得：

cos^2A(cos^2B + cos^2C - sin^2Bcos^2C - sin^2Ccos^2B + 2sinB sinC cosAcos^2Bcos^2C + cos^2Bcos^2C + cos^2Ccos^2B)
+ cos^2B(cos^2C + cos^2A - sin^2Ccos^2A - sin^2Acos^2C + 2sinC sinA cosBcos^2Ccos^2A + cos^2Ccos^2A + cos^2Acos^2C)
+ cos^2C(cos^2A + cos^2B - sin^2Acos^2B - sin^2Bcos^2A + 2sinA sinB cosCcos^2Acos^2B + cos^2Acos^2B + cos^2Bcos^2A)
= 0

接着使用sin2x=2sinx cosx将表达式改写为：

cos^2A(cos^2B + cos^2C - (1 - cos2B)(1 - cos2C) cosA + (1 - sin2B)(1 - sin2C))
+ cos^2B(cos^2C + cos^2A - (1 - cos2C)(1 - cos2A) cosB + (1 - sin2C)(1 - sin2A))
+ cos^2C(cos^2A + cos^2B - (1 - cos2A)(1 - cos2B) cosC + (1 - sin2A)(1 - sin2B))
= 0

展开表达式并将同类项分组可得：

cos2Acos2Bcos2C - (cos2Acos2B + cos2Bcos2C + cos2Ccos2A) - 2(sin2Acos2Bcos2C + sin2Bcos2Ccos2A + sin2Ccos2Acos2B) + 2(sin2A sin2B cosC + sin2B sin2C cosA + sin2C sin2A cosB) = 0

简化即可得：

(cosA + cosB + cosC)(cosAcosBcosC - sinA sinB sinC) = 0

由于cos(x)永远不会等于零，我们可以得出：

cosAcosBcosC - sinA sinB sinC = 0

利用余弦定理可以得出：

cos A = (b^2+c^2-a^2)/2bc, cos B = (c^2+a^2-b^2)/2ca, cos C = (a^2+b^2-c^2)/2ab

将其带回到cosAcosBcosC - sinA sinB sinC=0可得：

(a^2+b^2-c^2)(c^2+a^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)=8a^2b^2c^2

我们可以继续化简：

(a^2+b^2-c^2)(c^2+a^2-b^2)=a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2

将此式代入上式得：

(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2)(b^2+c^2-a^2)=8a^2b^2c^2

展开式子之后得到：

a^6+b^6+c^6-3(a^4b^2+a^2b^4+a^4c^2+c^4a^2+b^4c^2+c^4b^2)+6a^2b^2c^2=(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)

nyy · 发表于 2023-4-15 08:21:55

XIAOWEN 发表于 2023-4-14 23:21
首先，我们利用恒等式cos^2A=1-sin^2A将给定的方程式化为：

1 - sin^2A + 1 - sin^2B + 1 - sin^2C + 2c ...

写了那么长（似乎还不对），我就直接问你：为啥不直接用三边长度来表达三个角的余弦，然后代入化简？
你的论述太长了！

nyy · 发表于 2023-4-17 10:14:20

XIAOWEN 发表于 2023-4-14 23:21
首先，我们利用恒等式cos^2A=1-sin^2A将给定的方程式化为：

1 - sin^2A + 1 - sin^2B + 1 - sin^2C + 2c ...

首先，我们利用恒等式cos^2A=1-sin^2A将给定的方程式化为：
1 - sin^2A + 1 - sin^2B + 1 - sin^2C + 2cosAcosBcosC = 1
对此式进行简化得：
sin^2A + sin^2B + sin^2C - 2cosAcosBcosC = 0

复制代码

我觉得得到的应该是
sin^2A + sin^2B + sin^2C - 2cosAcosBcosC = 2，
而不是
sin^2A + sin^2B + sin^2C - 2cosAcosBcosC = 0

我感觉你的回答错误，但是看你的结论，似乎又是正确的，能出来解释一下吗？

nyy · 发表于 2023-4-17 10:16:48

根据余弦定理，由三个边的长度来计算三个角的余弦值，
然后带入计算化简，就可以得到
1-2cosAcosBcosC-(cos^2A+cos^2B+cos^2C)=0
这算是又一种证明这个等式的办法！

Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
f=1-2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)/.{a->cs[y,z,x],b->cs[x,z,y],c->cs[x,y,z]}

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