cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1→±A±B±C=？

nyy

XIAOWEN 发表于 2023-4-14 23:21
首先，我们利用恒等式cos^2A=1-sin^2A将给定的方程式化为：

1 - sin^2A + 1 - sin^2B + 1 - sin^2C + 2c ...

1. 
   
2. 首先，我们利用恒等式cos^2A=1-sin^2A将给定的方程式化为：
   
3. 
   
4. 1 - sin^2A + 1 - sin^2B + 1 - sin^2C + 2cosAcosBcosC = 1
   
5. 
   
6. 对此式进行简化得：
   
7. 
   
8. sin^2A + sin^2B + sin^2C - 2cosAcosBcosC = 0

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我觉得得到的应该是
sin^2A + sin^2B + sin^2C - 2cosAcosBcosC = 2，
而不是
sin^2A + sin^2B + sin^2C - 2cosAcosBcosC = 0

我感觉你的回答错误，但是看你的结论，似乎又是正确的，能出来解释一下吗？

nyy

根据余弦定理，由三个边的长度来计算三个角的余弦值，
然后带入计算化简，就可以得到
1-2cosAcosBcosC-(cos^2A+cos^2B+cos^2C)=0
这算是又一种证明这个等式的办法！

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. f=1-2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)/.{a->cs[y,z,x],b->cs[x,z,y],c->cs[x,y,z]}
   

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nyy

XIAOWEN 发表于 2023-4-14 23:21
首先，我们利用恒等式cos^2A=1-sin^2A将给定的方程式化为：

1 - sin^2A + 1 - sin^2B + 1 - sin^2C + 2c ...

你的最后的结果，似乎扯到了等腰四面体的体积表达式，虽然你没提到，但是最后的结果很像：

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. f=1+2*a*b*c-(a^2+b^2+c^2)/.{a->cs[y,z,x],b->cs[x,z,y],c->cs[x,y,z]}//Factor
   

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求解结果
\[-\frac{\left(x^2-y^2-z^2\right) \left(x^2+y^2-z^2\right) \left(x^2-y^2+z^2\right)}{2 x^2 y^2 z^2}\]

看看这边的以前的回复
如何把四面体体积公式的表达式尽可能地化简简单?
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 5&fromuid=14149