微奖：求助计算数据
问题：X^p+2pXYZD+Y^p
=Z^P . X、Y、Z、D皆为正整数，且两两互素，p≥5为素数。
问：当X+Y>Z时，式子（Z^p-X^p-Y^p）÷2pXYZ能得到正整数D吗？谢谢！
熊先生好！
“最先得到D的20个数值，，奖人民币100元”。 X、Y、Z、D皆为正整数，若两两互素，XYZD必然均为奇数，Z^p-X^p-Y^p必为奇数，不可能是2 的倍数 northwolves 发表于 2023-4-21 15:00
X、Y、Z、D皆为正整数，若两两互素，XYZD必然均为奇数，Z^p-X^p-Y^p必为奇数，不可能是2 的倍数
谢谢观点！谁能编程验证 njzzyy 发表于 2023-4-22 12:22
谢谢观点！谁能编程验证
无解为什么还要编程验证？去掉互素的条件估计有很多解 northwolves 发表于 2023-4-22 16:05
无解为什么还要编程验证？去掉互素的条件估计有很多解
谢谢northwolves先生，谁能提供去掉互素的条件的解？谢谢！ No.(p<50,X<Y<200)
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northwolves 发表于 2023-4-23 11:25
No.(p
谢谢northwolves先生的数据！声明下，这个问题是我一个多年的资深数学爱好者网友，委托我提出，他要亲自表示感谢，肯请northwolves与他加微信好友，网友微信名：wxid_ni05tqbtfu9h22， 首先，将式子 $X^p+2pXYZD+Y^p=Z^P$ 移项得到：
$Z^p-X^p-Y^p=2pXYZD$
因为 $X,Y,Z$ 互质，所以 $X^p, Y^p, Z^p$ 模 $2$ 的余数只有 $0$ 或 $1$。又因为 $p\geq5$ 是素数，所以 $2p$ 是偶数，$X^p+Y^p$ 模 $2p$ 的余数也只有 $0$ 或 $1$。
当 $X+Y>Z$ 时，我们可以将 $Z=X+Y+k$（其中 $k$ 是正整数），代入上式：
$(X+Y+k)^p-X^p-Y^p=2pXY(X+Y+k)D$
对于左边的多项式展开，由二项式定理可知：
\((X+Y+k)^p-X^p-Y^p=\sum_{i=1}^{p-1}\binom{p}{i}(X+Y)^i k^{p-i}\)
显然，$p$ 是奇数，而 \(\binom{p}{i}\) 当 $i$ 是奇数时为奇数，当 $i$ 是偶数时为偶数。因此，\(\binom{p}{i}(X+Y)^i k^{p-i}\) 模 $2p$ 的余数只有 $0$ 或 $k^j$（其中 $j$ 是正整数）。
因为 $X,Y,Z$ 互质，所以 $XY(X+Y+k)$ 也与 $X,Y,Z$ 互质。因此，$2pXYZD$ 的因子中只能包含 $2,p$ 和 $X,Y,Z$ 中的一些因子。因为 $p\geq5$ 是素数，所以 $2p$ 只和 $p$ 相同或者只多一个因子 $2$。因此，无论 $D$ 是否为正整数，$2pXYZD$ 模 $2p$ 的余数只有 $0$ 或 $2pk^j$（其中 $j$ 是正整数）。
当 $k$ 是奇数时，$k^j$ 也是奇数，而 $2pk^j$ 能被 $2p$ 整除，因此式子左边模 $2p$ 的余数为奇数，而右边模 $2p$ 的余数为偶数，不满足条件。因此，$k$ 必须是偶数，记 $k=2m$，代入原式得到：
$(X+Y+2m)^p-X^p-Y^p=8pmXY(X+Y+m)D$
因为 $\gcd(X,Y)=1$，所以 $\gcd(X+Y,X)=\gcd(X+Y,Y)=1$，即 $X+Y$ 不含比 $X$ 和 $Y$ 更大的因子。因此，$X+Y+2m$ 必须包含一个大于 $2$ 的因子 $q$，而 $2p\cdot q$ 是不能被 $p$ 整除的，因此 $8pm$ 必须包含因子 $p$。
又因为 $p$ 是素数，所以 $p$ 不能整除 $X,Y,Z$ 中的任何一个数。因此，$2m(X+Y+m)$ 不能包含因子 $p$。因此，$D$ 必须包含因子 $p$。
综上所述，当且仅当 $k$ 是偶数且 $D$ 包含因子 $p$ 时，式子 $\frac{Z^p-X^p-Y^p}{2pXYZ}$ 才能得到正整数 $D$。 XIAOWEN 发表于 2023-4-26 15:00
首先，将式子 $X^p+2pXYZD+Y^p=Z^P$ 移项得到：
$Z^p-X^p-Y^p=2pXYZD$
谢谢XIAOWEN先生的精彩证明！ 我网友求助来信，谢谢关注！
我乃初等数论爱好者。我从小酷爱数学。早在初中学习阶段，我就接触到了诸如费马大定理、哥德巴赫猜想等世界著名数论难题。我买了不少有关初等数论书籍进行自学，如《数论导引》，《数论讲义》，《从哥达毕拉斯到怀尔斯》及其它有关费马大定理的著作。对于解答不定方程，我情有独钟。例如，椭圆曲线：Y^2=225X^3-1519，四元三次不定方程：a^3+9b^3=mn（m+n）。尤其对不定方程：Z^p-X^p-Y^p=2pXYZD耿耿于怀。当Z=X+Y时，我们易证2D为奇数；当Z≠X+Y时，考虑到奇偶性与同余性，可设Z=X+Y±2mp。这里m为正整数。实践中，在Z=X+Y+2mp情况下我得到了一组数据：[5，1，23，5084，290465349
5069]，这里m=506。但是，在Z=X+Y-2mp时，虽然经过我长时期努力，始终找不到有效的解，使我非常纠结。故此，我渴望着同仁不吝赐教 ，帮我脱离瓶颈。不胜感激！
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