微奖：求助计算数据

njzzyy

问题：
X^p+2pXYZD+Y^p
=Z^P .     X、Y、Z、D皆为正整数，且两两互素，p≥5为素数。
问：当X+Y>Z时，式子（Z^p-X^p-Y^p）÷2pXYZ能得到正整数D吗？谢谢！
熊先生好！
   “最先得到D的20个数值，，奖人民币100元”。

northwolves

X、Y、Z、D皆为正整数，若两两互素，XYZD必然均为奇数，Z^p-X^p-Y^p必为奇数，不可能是2 的倍数

njzzyy

northwolves 发表于 2023-4-21 15:00
X、Y、Z、D皆为正整数，若两两互素，XYZD必然均为奇数，Z^p-X^p-Y^p必为奇数，不可能是2 的倍数

谢谢观点！谁能编程验证

northwolves

njzzyy 发表于 2023-4-22 12:22
谢谢观点！谁能编程验证

无解为什么还要编程验证？去掉互素的条件估计有很多解

njzzyy

northwolves 发表于 2023-4-22 16:05
无解为什么还要编程验证？去掉互素的条件估计有很多解

谢谢northwolves先生，谁能提供去掉互素的条件的解？谢谢！

northwolves

No.  [p,X,Y,Z,D](p<50,X<Y<200)
------------------------------
1 [5, 40, 80, 100, 2069]
2 [5, 45, 75, 90, 1102]
3 [5, 45, 150, 165, 4146]
4 [5, 75, 165, 180, 2886]
5 [5, 80, 100, 120, 1209]
6 [5, 80, 160, 200, 8276]
7 [5, 80, 200, 220, 5457]
8 [5, 90, 120, 150, 2787]
9 [5, 90, 150, 180, 4408]
10 [5, 100, 160, 220, 11378]
11 [5, 120, 180, 240, 11235]
12 [5, 132, 180, 192, 699]
13 [5, 135, 198, 243, 7669]
14 [5, 160, 200, 240, 4836]
15 [5, 160, 200, 320, 28619]
16 [5, 162, 198, 270, 11766]
17 [7, 54, 72, 84, 3967269]
18 [7, 56, 84, 98, 8611309]
19 [7, 56, 196, 224, 499204552]
20 [7, 63, 126, 147, 59691555]
21 [7, 84, 126, 168, 130293009]
22 [7, 108, 144, 168, 63476304]
23 [7, 108, 168, 192, 116257212]
24 [7, 108, 192, 216, 193715204]
25 [7, 112, 168, 196, 137780944]
26 [7, 112, 196, 224, 246416100]
27 [7, 126, 168, 252, 806833755]
28 [7, 144, 192, 252, 549852714]
29 [7, 147, 189, 252, 555389814]
30 [7, 147, 189, 294, 1571960124]
31 [11, 72, 132, 138, 4623878439465264]
32 [11, 72, 138, 144, 6548072517766548]
33 [11, 72, 192, 198, 87435214616362688]
34 [11, 88, 176, 242, 1960888019672668416]
35 [11, 96, 132, 162, 39821073362685824]
36 [11, 132, 176, 242, 1305564582048616704]
37 [11, 132, 198, 264, 2737883103407031808]
38 [11, 138, 144, 216, 496170320074430912]
39 [11, 144, 198, 276, 3980115975236945920]
40 [11, 160, 200, 250, 1228291821006368768]
41 [11, 192, 198, 324, 15126763571547348992]
42 [13, 96, 144, 162, 711406025748072235008]
43 [13, 106, 128, 156, 539985994631466975232]
44 [13, 108, 162, 192, 4907868761339613675520]
45 [13, 159, 162, 243, 62717655717766131351552]
46 [17, 144, 162, 204, 11087231168531668300011478712320]
47 [19, 144, 162, 192, 135606876101831292375110295377412096]
48 [23, 162, 192, 216, 1485429523694998282563241479788079774206787584]

njzzyy

northwolves 发表于 2023-4-23 11:25
No.  (p

谢谢northwolves先生的数据！声明下，这个问题是我一个多年的资深数学爱好者网友，委托我提出，他要亲自表示感谢，肯请northwolves与他加微信好友，网友微信名：wxid_ni05tqbtfu9h22，

XIAOWEN

首先，将式子 $X^p+2pXYZD+Y^p=Z^P$ 移项得到：

$Z^p-X^p-Y^p=2pXYZD$

因为 $X,Y,Z$ 互质，所以 $X^p, Y^p, Z^p$ 模 $2$ 的余数只有 $0$ 或 $1$。又因为 $p\geq5$ 是素数，所以 $2p$ 是偶数，$X^p+Y^p$ 模 $2p$ 的余数也只有 $0$ 或 $1$。

当 $X+Y>Z$ 时，我们可以将 $Z=X+Y+k$（其中 $k$ 是正整数），代入上式：

$(X+Y+k)^p-X^p-Y^p=2pXY(X+Y+k)D$

对于左边的多项式展开，由二项式定理可知：

\((X+Y+k)^p-X^p-Y^p=\sum_{i=1}^{p-1}\binom{p}{i}(X+Y)^i k^{p-i}\)

显然，$p$ 是奇数，而 \(\binom{p}{i}\) 当 $i$ 是奇数时为奇数，当 $i$ 是偶数时为偶数。因此，\(\binom{p}{i}(X+Y)^i k^{p-i}\) 模 $2p$ 的余数只有 $0$ 或 $k^j$（其中 $j$ 是正整数）。

因为 $X,Y,Z$ 互质，所以 $XY(X+Y+k)$ 也与 $X,Y,Z$ 互质。因此，$2pXYZD$ 的因子中只能包含 $2,p$ 和 $X,Y,Z$ 中的一些因子。因为 $p\geq5$ 是素数，所以 $2p$ 只和 $p$ 相同或者只多一个因子 $2$。因此，无论 $D$ 是否为正整数，$2pXYZD$ 模 $2p$ 的余数只有 $0$ 或 $2pk^j$（其中 $j$ 是正整数）。

当 $k$ 是奇数时，$k^j$ 也是奇数，而 $2pk^j$ 能被 $2p$ 整除，因此式子左边模 $2p$ 的余数为奇数，而右边模 $2p$ 的余数为偶数，不满足条件。因此，$k$ 必须是偶数，记 $k=2m$，代入原式得到：

$(X+Y+2m)^p-X^p-Y^p=8pmXY(X+Y+m)D$

因为 $\gcd(X,Y)=1$，所以 $\gcd(X+Y,X)=\gcd(X+Y,Y)=1$，即 $X+Y$ 不含比 $X$ 和 $Y$ 更大的因子。因此，$X+Y+2m$ 必须包含一个大于 $2$ 的因子 $q$，而 $2p\cdot q$ 是不能被 $p$ 整除的，因此 $8pm$ 必须包含因子 $p$。

又因为 $p$ 是素数，所以 $p$ 不能整除 $X,Y,Z$ 中的任何一个数。因此，$2m(X+Y+m)$ 不能包含因子 $p$。因此，$D$ 必须包含因子 $p$。

综上所述，当且仅当 $k$ 是偶数且 $D$ 包含因子 $p$ 时，式子 $\frac{Z^p-X^p-Y^p}{2pXYZ}$ 才能得到正整数 $D$。

njzzyy

XIAOWEN 发表于 2023-4-26 15:00
首先，将式子 $X^p+2pXYZD+Y^p=Z^P$ 移项得到：

$Z^p-X^p-Y^p=2pXYZD$

谢谢XIAOWEN先生的精彩证明！

njzzyy

我网友求助来信，谢谢关注！
我乃初等数论爱好者。我从小酷爱数学。早在初中学习阶段，我就接触到了诸如费马大定理、哥德巴赫猜想等世界著名数论难题。我买了不少有关初等数论书籍进行自学，如《数论导引》，《数论讲义》，《从哥达毕拉斯到怀尔斯》及其它有关费马大定理的著作。对于解答不定方程，我情有独钟。例如，椭圆曲线：Y^2=225X^3-1519，四元三次不定方程：a^3+9b^3=mn（m+n）。尤其对不定方程：Z^p-X^p-Y^p=2pXYZD耿耿于怀。当Z=X+Y时，我们易证2D为奇数；当Z≠X+Y时，考虑到奇偶性与同余性，可设Z=X+Y±2mp。这里m为正整数。实践中，在Z=X+Y+2mp情况下我得到了一组数据：[5，1，23，5084，290465349
5069]，这里m=506。但是，在Z=X+Y-2mp时，虽然经过我长时期努力，始终找不到有效的解，使我非常纠结。故此，我渴望着同仁不吝赐教 ，帮我脱离瓶颈。不胜感激！