一道角平分线有关的几何题
如图，在△ABC中，AD是高，CE是角平分线，且∠AEC=45°,若BD=6，CD=4， 求BE的长.
看看有多少种办法求解。
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
ans=Solve[{
a==Sqrt[(c+d)^2-6^2],(*勾股定理*)
Sqrt==b,(*勾股定理*)
((d/(6+4)-c/b)//Together//Numerator)==0,(*角平分线定理*)
((cs-Cos)//Together//Numerator)==0,(*∠AEC=45°*)
((cs+cs)//Together//Numerator)==0 (*两角余弦和等于零*)
},{a,b,c,d,e},Reals]//FullSimplify
ans2=Grid(*列表显示*)
思路写在注释里，方程组吊打问题。
求解结果
\[\begin{array}{}
a\to 3, & b\to 5, &c\to-\sqrt{5},&d\to-2\sqrt{5},&e\to-2\sqrt{10} \\
a\to 3, & b\to 5, &c\to\sqrt{5}, &d\to2\sqrt{5}, &e\to2\sqrt{10} \\
\end{array}\] nyy 发表于 2024-3-5 09:00
思路写在注释里，方程组吊打问题。
求解结果
这题有没有不用方程组的解法！ $/_B=\fracπ4-α$
所以$a=6\tan(\fracπ4-α)=4\tan(2α)$,解得$\tan(α)=3$或$\tan(α)=\frac1 3$, 显然只能取后者，然后可以算得$a=3,b=5,c+d=3\sqrt{5},d=2\sqrt{5}$ Solve[{(c + d)^2 - 36 == b^2 - 16, c/d == b/10, 100 == d^2 + e^2 + Sqrt d e, b^2 == c^2 + e^2 - Sqrt c e, b > 0, c > 0, d > 0, e > 0}, {b, c, d, e}]
這是個不錯的題！
我網準備收錄。
不知題目來源於何處？ 找到一个几何解法，足够简明.
E是△BCF的内心. 由三角形面积 S=pr可得内径为2，于是BE=2√5. 本帖最后由 nyy 于 2024-3-7 13:46 编辑
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
ans=Solve[{
6^2+a^2==(c+d)^2,(*勾股定理*)
4^2+a^2==b^2,(*勾股定理*)
((cs-cs)//Together//Numerator)==0,(*角平分线,两角相等,因此角的余弦值相等*)
((cs-Cos)//Together//Numerator)==0,(*∠AEC=45°*)
((cs+cs)//Together//Numerator)==0 (*∠AEC与∠BEC,两角余弦和等于零*)
},{a,b,c,d,e}]//Simplify;
ans2=Grid(*列表显示*)
(*选出实数部分大于零的*)
aaa=Select>0&)/@({a,b,c,d,e}/.#))&]
我还是喜欢自己的代码，我又把代码优化了一些，我喜欢计算出全部解，//Together//Numerator，就是为了把零解都找出来的。先找出所有可能的解（这样显示出mathematica的强大），
再从其中挑选出符合题目要求的解（我喜欢这样的思路）。不过代码修改后，变成了20组解，修改以前有22组解，具体愿意不知道。
所有的解如下：
\[\begin{array}{rrrrr}
a\to 0 & b\to -4 & c\to -4 & d\to 10 & e\to 0 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to -4 & d\to 10 & e\to 0 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 0 & d\to -6 & e\to -4 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 0 & d\to 6 & e\to -4 \\
a\to -4 i & b\to 0 & c\to 0 & d\to -2 \sqrt{5} & e\to 0 \\
a\to 4 i & b\to 0 & c\to 0 & d\to -2 \sqrt{5} & e\to 0 \\
a\to -4 i & b\to 0 & c\to 0 & d\to 2 \sqrt{5} & e\to 0 \\
a\to 4 i & b\to 0 & c\to 0 & d\to 2 \sqrt{5} & e\to 0 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 0 & d\to -6 & e\to 4 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 0 & d\to 6 & e\to 4 \\
a\to 0 & b\to -4 & c\to 4 & d\to -10 & e\to 0 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 4 & d\to -10 & e\to 0 \\
a\to -3 & b\to -5 & c\to -3 \sqrt{5} & d\to 6 \sqrt{5} & e\to -2 \sqrt{10} \\
a\to 3 & b\to -5 & c\to -3 \sqrt{5} & d\to 6 \sqrt{5} & e\to -2 \sqrt{10} \\
a\to -3 & b\to 5 & c\to -\sqrt{5} & d\to -2 \sqrt{5} & e\to -2 \sqrt{10} \\
a\to 3 & b\to 5 & c\to -\sqrt{5} & d\to -2 \sqrt{5} & e\to -2 \sqrt{10} \\
a\to -3 & b\to 5 & c\to \sqrt{5} & d\to 2 \sqrt{5} & e\to 2 \sqrt{10} \\
a\to 3 & b\to 5 & c\to \sqrt{5} & d\to 2 \sqrt{5} & e\to 2 \sqrt{10} \\
a\to -3 & b\to -5 & c\to 3 \sqrt{5} & d\to -6 \sqrt{5} & e\to 2 \sqrt{10} \\
a\to 3 & b\to -5 & c\to 3 \sqrt{5} & d\to -6 \sqrt{5} & e\to 2 \sqrt{10} \\
\end{array}\]
符合条件的解如下：
\[\left\{\left\{a\to 3,b\to 5,c\to \sqrt{5},d\to 2 \sqrt{5},e\to 2 \sqrt{10}\right\}\right\}\] nyy 发表于 2024-3-6 11:29
找到一个几何解法，足够简明.
E是△BCF的内心. 由三角形面积 S=pr可得内径为2，于是BE=2√5. ...
假设EB=x，EF=y，EC=z，根据角平分线分的两个角的余弦值相等，列方程，四面体体积等于零列方程。
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
ans=Solve[{
Numerator@Together-cs]==0,(*角平分线的分的两个角的余弦值相等*)
Numerator@Together-cs]==0,(*角平分线的分的两个角的余弦值相等*)
Numerator@Together-cs]==0,(*角平分线的分的两个角的余弦值相等,这个条件多余*)
fun==0 (*四面体体积等于零*)
},{x,y,z}]
ans2=Grid(*列表显示*)
(*选出实数部分大于零的*)
aaa=Select>0&)/@({x,y,z}/.#))&]
输出结果
\[\begin{array}{rrr}
x\to -2 \sqrt{5} & y\to -2 \sqrt{2} & z\to -2 \sqrt{10} \\
x\to -2 \sqrt{5} & y\to 2 \sqrt{2} & z\to -2 \sqrt{10} \\
x\to 2 \sqrt{5} & y\to -2 \sqrt{2} & z\to -2 \sqrt{10} \\
x\to 2 \sqrt{5} & y\to 2 \sqrt{2} & z\to -2 \sqrt{10} \\
x\to -2 \sqrt{5} & y\to -2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{10} \\
x\to -2 \sqrt{5} & y\to 2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{10} \\
x\to 2 \sqrt{5} & y\to -2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{10} \\
x\to 2 \sqrt{5} & y\to 2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{10} \\
\end{array}\]
过滤后的结果
\[\left\{\left\{x\to 2 \sqrt{5},y\to 2 \sqrt{2},z\to 2 \sqrt{10}\right\}\right\}\] 纯解析几何解决问题，以B点为原点，建立坐标系。
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*坐标赋值*)
{xa,ya}={6,ya};(*一个变量ya*)
{xb,yb}={0,0};
{xc,yc}={6+4,0};
{xe,ye}={xe,ye};(*两个变量xe,ye*)
(*计算直线斜率*)
k1=(ya-yb)/(xa-xb);(*AB斜率*)
k2=(ya-yc)/(xa-xc);(*AC斜率*)
k3=(ye-yc)/(xe-xc);(*EC斜率*)
k4=0;(*BC斜率*)
(*根据已知条件列三个方程*)
(*AEB三点共线*)
eq1=Det[{{xa,ya,1},{xe,ye,1},{xb,yb,1}}];
(*∠AEC=45°*)
eq2=Numerator@Together[(k1-k3)/(1+k1*k3)-Tan];
(*EC是∠ACB的角平分线*)
eq3=Numerator@Together[(k3-k2)/(1+k3*k2)-(k4-k3)/(1+k4*k3)];
(*求解方程组*)
ans=Solve[{eq1,eq2,eq3}==0,{ya,xe,ye}]//Simplify
ans2=Grid(*列表显示*)
(*选出实数部分大于零的*)
aaa=Select>0&)/@({ya,xe,ye}/.#))&]
(*计算BE的长度*)
BE=EuclideanDistance[{xb,yb},{xe,ye}]/.aaa[]
方程组求解结果：
\[\begin{array}{rrr}
\text{ya}\to -3 & \text{xe}\to 12 & \text{ye}\to -6 \\
\text{ya}\to 0 & \text{xe}\to 10 & \text{ye}\to 0 \\
\text{ya}\to 3 & \text{xe}\to 4 & \text{ye}\to 2 \\
\end{array}\]
过滤后的结果
\[\{\{\text{ya}\to 3,\text{xe}\to 4,\text{ye}\to 2\}\}\]
BE的长度\(2 \sqrt{5}\)
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