一道角平分线有关的几何题

nyy

如图，在△ABC中，AD是高，CE是角平分线，且∠AEC=45°,
若BD=6，CD=4， 求BE的长.

看看有多少种办法求解。

nyy

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. ans=Solve[{
   
6.     a==Sqrt[(c+d)^2-6^2],(*勾股定理*)
   
7.     Sqrt[4^2+a^2]==b,(*勾股定理*)
   
8.     ((d/(6+4)-c/b)//Together//Numerator)==0,(*角平分线定理*)
   
9.     ((cs[c,e,b]-Cos[45deg])//Together//Numerator)==0,(*∠AEC=45°*)
   
10.     ((cs[d,e,6+4]+cs[c,e,b])//Together//Numerator)==0 (*两角余弦和等于零*)
    
11. },{a,b,c,d,e},Reals]//FullSimplify
    
12. ans2=Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
    

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思路写在注释里，方程组吊打问题。

求解结果
\[\begin{array}{}
a\to 3, & b\to 5, &c\to-\sqrt{5},&d\to-2\sqrt{5},&e\to-2\sqrt{10} \\
a\to 3, & b\to 5, &c\to\sqrt{5}, &d\to2\sqrt{5}, &e\to2\sqrt{10} \\
\end{array}\]

nyy

nyy 发表于 2024-3-5 09:00
思路写在注释里，方程组吊打问题。

求解结果

这题有没有不用方程组的解法！

mathe

$/_B=\fracπ4-α$
所以$a=6\tan(\fracπ4-α)=4\tan(2α)$,解得$\tan(α)=3$或$\tan(α)=\frac1 3$, 显然只能取后者，然后可以算得$a=3,b=5,c+d=3\sqrt{5},d=2\sqrt{5}$

Jack315

1. Solve[{(c + d)^2 - 36 == b^2 - 16, c/d == b/10, 100 == d^2 + e^2 + Sqrt[2] d e, b^2 == c^2 + e^2 - Sqrt[2] c e, b > 0, c > 0, d > 0, e > 0}, {b, c, d, e}]

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ejsoon

這是個不錯的題！

我網準備收錄。

不知題目來源於何處？

nyy

找到一个几何解法，足够简明.

E是△BCF的内心. 由三角形面积 S=pr可得内径为2，于是BE=2√5.

nyy

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. ans=Solve[{
   
6.     6^2+a^2==(c+d)^2,(*勾股定理*)
   
7.     4^2+a^2==b^2,(*勾股定理*)
   
8.     ((cs[6+4,e,d]-cs[b,e,c])//Together//Numerator)==0,(*角平分线,两角相等,因此角的余弦值相等*)
   
9.     ((cs[c,e,b]-Cos[45deg])//Together//Numerator)==0,(*∠AEC=45°*)
   
10.     ((cs[d,e,6+4]+cs[c,e,b])//Together//Numerator)==0 (*∠AEC与∠BEC,两角余弦和等于零*)
    
11. },{a,b,c,d,e}]//Simplify;
    
12. ans2=Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
    
13. (*选出实数部分大于零的*)
    
14. aaa=Select[ans,And@@((Re[#]>0&)/@({a,b,c,d,e}/.#))&]
    
15. 
    

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我还是喜欢自己的代码，我又把代码优化了一些，我喜欢计算出全部解，//Together//Numerator，就是为了把零解都找出来的。先找出所有可能的解（这样显示出mathematica的强大），
再从其中挑选出符合题目要求的解（我喜欢这样的思路）。不过代码修改后，变成了20组解，修改以前有22组解，具体愿意不知道。

所有的解如下：
\[\begin{array}{rrrrr}
a\to 0 & b\to -4 & c\to -4 & d\to 10 & e\to 0 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to -4 & d\to 10 & e\to 0 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 0 & d\to -6 & e\to -4 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 0 & d\to 6 & e\to -4 \\
a\to -4 i & b\to 0 & c\to 0 & d\to -2 \sqrt{5} & e\to 0 \\
a\to 4 i & b\to 0 & c\to 0 & d\to -2 \sqrt{5} & e\to 0 \\
a\to -4 i & b\to 0 & c\to 0 & d\to 2 \sqrt{5} & e\to 0 \\
a\to 4 i & b\to 0 & c\to 0 & d\to 2 \sqrt{5} & e\to 0 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 0 & d\to -6 & e\to 4 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 0 & d\to 6 & e\to 4 \\
a\to 0 & b\to -4 & c\to 4 & d\to -10 & e\to 0 \\
a\to 0 & b\to 4 & c\to 4 & d\to -10 & e\to 0 \\
a\to -3 & b\to -5 & c\to -3 \sqrt{5} & d\to 6 \sqrt{5} & e\to -2 \sqrt{10} \\
a\to 3 & b\to -5 & c\to -3 \sqrt{5} & d\to 6 \sqrt{5} & e\to -2 \sqrt{10} \\
a\to -3 & b\to 5 & c\to -\sqrt{5} & d\to -2 \sqrt{5} & e\to -2 \sqrt{10} \\
a\to 3 & b\to 5 & c\to -\sqrt{5} & d\to -2 \sqrt{5} & e\to -2 \sqrt{10} \\
a\to -3 & b\to 5 & c\to \sqrt{5} & d\to 2 \sqrt{5} & e\to 2 \sqrt{10} \\
a\to 3 & b\to 5 & c\to \sqrt{5} & d\to 2 \sqrt{5} & e\to 2 \sqrt{10} \\
a\to -3 & b\to -5 & c\to 3 \sqrt{5} & d\to -6 \sqrt{5} & e\to 2 \sqrt{10} \\
a\to 3 & b\to -5 & c\to 3 \sqrt{5} & d\to -6 \sqrt{5} & e\to 2 \sqrt{10} \\
\end{array}\]

符合条件的解如下：
\[\left\{\left\{a\to 3,b\to 5,c\to \sqrt{5},d\to 2 \sqrt{5},e\to 2 \sqrt{10}\right\}\right\}\]

nyy

nyy 发表于 2024-3-6 11:29
找到一个几何解法，足够简明.

E是△BCF的内心. 由三角形面积 S=pr可得内径为2，于是BE=2√5. ...

假设EB=x，EF=y，EC=z，根据角平分线分的两个角的余弦值相等，列方程，四面体体积等于零列方程。

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
6. ans=Solve[{
   
7.     Numerator@Together[cs[6,x,y]-cs[10,x,z]]==0,(*角平分线的分的两个角的余弦值相等*)
   
8.     Numerator@Together[cs[6,y,x]-cs[8,y,z]]==0,(*角平分线的分的两个角的余弦值相等*)
   
9.     Numerator@Together[cs[10,z,x]-cs[8,z,y]]==0,(*角平分线的分的两个角的余弦值相等,这个条件多余*)
   
10.     fun[x,y,z,8,10,6]==0 (*四面体体积等于零*)
    
11. },{x,y,z}]
    
12. ans2=Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
    
13. (*选出实数部分大于零的*)
    
14. aaa=Select[ans,And@@((Re[#]>0&)/@({x,y,z}/.#))&]
    

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输出结果
\[\begin{array}{rrr}
x\to -2 \sqrt{5} & y\to -2 \sqrt{2} & z\to -2 \sqrt{10} \\
x\to -2 \sqrt{5} & y\to 2 \sqrt{2} & z\to -2 \sqrt{10} \\
x\to 2 \sqrt{5} & y\to -2 \sqrt{2} & z\to -2 \sqrt{10} \\
x\to 2 \sqrt{5} & y\to 2 \sqrt{2} & z\to -2 \sqrt{10} \\
x\to -2 \sqrt{5} & y\to -2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{10} \\
x\to -2 \sqrt{5} & y\to 2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{10} \\
x\to 2 \sqrt{5} & y\to -2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{10} \\
x\to 2 \sqrt{5} & y\to 2 \sqrt{2} & z\to 2 \sqrt{10} \\
\end{array}\]

过滤后的结果
\[\left\{\left\{x\to 2 \sqrt{5},y\to 2 \sqrt{2},z\to 2 \sqrt{10}\right\}\right\}\]

nyy

纯解析几何解决问题，以B点为原点，建立坐标系。

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*坐标赋值*)
   
4. {xa,ya}={6,ya};(*一个变量ya*)
   
5. {xb,yb}={0,0};
   
6. {xc,yc}={6+4,0};
   
7. {xe,ye}={xe,ye};(*两个变量xe,ye*)
   
8. (*计算直线斜率*)
   
9. k1=(ya-yb)/(xa-xb);(*AB斜率*)
   
10. k2=(ya-yc)/(xa-xc);(*AC斜率*)
    
11. k3=(ye-yc)/(xe-xc);(*EC斜率*)
    
12. k4=0;(*BC斜率*)
    
13. (*根据已知条件列三个方程*)
    
14. (*AEB三点共线*)
    
15. eq1=Det[{{xa,ya,1},{xe,ye,1},{xb,yb,1}}];
    
16. (*∠AEC=45°*)
    
17. eq2=Numerator@Together[(k1-k3)/(1+k1*k3)-Tan[45deg]];
    
18. (*EC是∠ACB的角平分线*)
    
19. eq3=Numerator@Together[(k3-k2)/(1+k3*k2)-(k4-k3)/(1+k4*k3)];
    
20. (*求解方程组*)
    
21. ans=Solve[{eq1,eq2,eq3}==0,{ya,xe,ye}]//Simplify
    
22. ans2=Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
    
23. (*选出实数部分大于零的*)
    
24. aaa=Select[ans,And@@((Re[#]>0&)/@({ya,xe,ye}/.#))&]
    
25. (*计算BE的长度*)
    
26. BE=EuclideanDistance[{xb,yb},{xe,ye}]/.aaa[[1]]
    

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方程组求解结果：
\[\begin{array}{rrr}
\text{ya}\to -3 & \text{xe}\to 12 & \text{ye}\to -6 \\
\text{ya}\to 0 & \text{xe}\to 10 & \text{ye}\to 0 \\
\text{ya}\to 3 & \text{xe}\to 4 & \text{ye}\to 2 \\
\end{array}\]

过滤后的结果
\[\{\{\text{ya}\to 3,\text{xe}\to 4,\text{ye}\to 2\}\}\]

BE的长度\(2 \sqrt{5}\)