尊敬的mathe!能试试(只是本人一厢情愿)太难了不感期望。
四边形内部存在一点P, 满足四边形的8个内角都是整数度数°, 这样的点有多少个？
三角形内部存在一点P, 满足三角形的6个内角都是整数度数°, 这样的点有123个。
三角形角格点问题里面有参考文献说到：机器运行了 73125.078 秒才获得全部正整数解。
附, 这样的点有123个。
001：{01, 28, 091=02, 28, 30}=sin01°sin28°sin091°=sin02°sin28°sin30°
002：{01, 29, 061=01, 30, 58}
003：{01, 29, 089=02, 29, 30}
004：{01, 30, 087=02, 29, 31}
005：{01, 56, 061=03, 28, 31}
006：{01, 58, 059=03, 29, 30}
008：{02, 26, 092=04, 26, 30}
009：{02, 28, 062=02, 30, 56}
010：{02, 28, 088=04, 28, 30}
011：{02, 30, 084=04, 28, 32}
012：{02, 34, 094=10, 16, 24}
013：{02, 42, 044=04, 14, 74}
014：{02, 46, 062=08, 12, 50}
015：{02, 52, 062=06, 26, 32}
016：{02, 56, 058=06, 28, 30}
017：{03, 18, 093=06, 12, 48}
018：{03, 24, 081=06, 15, 51}
019：{03, 24, 093=06, 24, 30}
020：{03, 27, 063=03, 30, 54}
021：{03, 27, 087=06, 27, 30}
022：{03, 30, 075=09, 12, 51}
023：{03, 30, 081=06, 27, 33}
024：{03, 30, 093=12, 18, 24}
025：{03, 39, 066=09, 15, 48}
026：{03, 39, 075=09, 24, 30}
027：{03, 39, 081=15, 18, 24}
028：{03, 42, 075=12, 21, 27}
029：{03, 48, 054=09, 15, 51}
030：{03, 48, 063=09, 24, 33}
031：{03, 48, 069=15, 18, 27}
032：{03, 54, 057=09, 27, 30}
033：{03, 54, 063=15, 21, 24}
034：{04, 13, 103=04, 26, 30}
035：{04, 22, 094=08, 22, 30}
036：{04, 26, 064=04, 30, 52}
037：{04, 26, 086=08, 26, 30}
038：{04, 30, 078=08, 26, 34}
039：{04, 38, 064=10, 18, 46}
040：{04, 39, 043=08, 13, 73]
041：{04, 44, 064=12, 22, 34}
042：{04, 52, 056=12, 26, 30}
043：{05, 20, 095=10, 20, 30}
044：{05, 25, 065=05, 30, 50}
045：{05, 25, 085=10, 25, 30}
046：{05, 30, 075=10, 25, 35}
047：{05, 40, 065=15, 20, 35}
048：{05, 50, 055=15, 25, 30}
049：{06, 06, 126=06, 12, 24}
050：{06, 09, 099=06, 12, 48}
051：{06, 12, 096=06, 18, 42}
052：{06, 12, 102=06, 24, 30}
053：{06, 12, 114=12, 18, 18}
054：{06, 15, 105=12, 18, 24}
055：{06, 18, 078=06, 24, 48}
056：{06, 18, 084=12, 12, 48}
057：{06, 18, 096=12, 18, 30}
058：{06, 21, 057=09, 12, 75}
059：{06, 24, 066=06, 30, 48}
060：{06, 24, 084=12, 24, 30}
061：{06, 30, 066=12, 18, 48}
062：{06, 30, 072=12, 24, 36}
063：{06, 30, 078=18, 24, 24}
064：{06, 36, 042=12, 12, 72}
065：{06, 36, 066=18, 18, 36}
066：{06, 42, 048=12, 18, 54}
067：{06, 42, 054=12, 24, 42}
068：{06, 48, 054=18, 24, 30}
069：{07, 16, 097=14, 16, 30}
070：{07, 23, 067=07, 30, 46}
071：{07, 23, 083=14, 23, 30}
072：{07, 30, 069=14, 23, 37}
073：{07, 32, 067=16, 21, 37}
074：{07, 46, 053=21, 23, 30}
075：{08, 11, 101=08, 22, 30}
076：{08, 14, 098=14, 16, 30}
077：[08, 22, 068=08, 30, 44}
078：{08, 22, 082=16, 22, 30}
079：{08, 28, 068=14, 24, 38}
080：{08, 30, 066=16, 22, 38}
081：{08, 33, 041=11, 16, 71}
082：{08, 44, 052=22, 24, 30}
083：{09, 12, 099=12, 18, 30}
084：{09, 15, 075=09, 18, 54}
085：{09, 15, 081=12, 15, 48}
086：{09, 15, 087=12, 18, 39}
087：{09, 18, 069=12, 15, 57}
088：{09, 21, 069=09, 30, 42}
089：{09, 21, 081=18, 21, 30}
090：{09, 24, 069=12, 27, 39}
091：{09, 30, 063=18, 21, 39}
092：{09, 33, 054=15, 21, 48}
093：{09, 42, 051=21, 27, 30}
094：{10, 10, 100=10, 20, 30}
095：{10, 20, 070=10, 30, 40}
096：{10, 20, 080=20, 20, 30}
097：{10, 26, 070=22, 24, 28}
098：{10, 30, 060=20, 20, 40}
099：{10, 40, 050=20, 30, 30}
100：{11, 19, 071=11, 30, 38}
101：{11, 19, 079=19, 22, 30}
102：{11, 30, 057=19, 22, 41}
103：{11, 38, 049=19, 30, 33}
104：{12, 12, 084=12, 18, 42}
105：{12, 18, 072=12, 30, 36}
106：{12, 18, 078=18, 24, 30}
107：{12, 24, 066=18, 30, 30}
108：{12, 30, 048=18, 18, 54}
109：{12, 30, 054=18, 24, 42}
110：{12, 33, 039=15, 18, 63}
111：{12, 36, 048=18, 30, 36}
112：{13, 17, 073=13, 30, 34}
113：[13, 17, 077=17, 26, 30}
114：{13, 30, 051=17, 26, 43}
115：{13, 34, 047=17, 30, 39}
116：{14, 16, 074=14, 30, 32}
117：{14, 16, 076=16, 28, 30}
118：{14, 30, 048=16, 28, 44}
119：{14, 32, 046=16, 30, 42}
120：{15, 15, 075=15, 30, 30}
121：{15, 24, 057=18, 27, 39}
122：{15, 30, 051=24, 27, 33}
123：{18, 24, 054=24, 30, 30}
尊敬的mathe!只是试一试，太难了(比主帖及延深肯定要难)。我还不知道怎么描述。
四边形内部存在一点P, 满足四边形的8个内角都是整数度数°, 这样的点有多少个？
sin(a1)sin(a2)sin(a3)sin(a4)=sin(a5)sin(a6)sin(a7)sin(a8)
{a1,a2,a3,a4=a5,a6,a7,a8}
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=360
a1≤a2≤a3≤a4，a5≤a6≤a7≤a8
左边不是同一个数, 右边不是同一个数,
左边与右边没有共同的数,
a1<a5
我还不知道怎么描述这“非平凡解”。
我们得保证这P点在四边形内部？
因为有三角形123个解, 具体解题还蛮实用的。
如上图的结构是不是就是你想要的构造？当然这个比较特殊，由四个等腰三角形拼凑而成。
没这么特殊的可以有
6 6 173 24 126 12 6 7
mathe 发表于 2024-3-30 21:25
如上图的结构是不是就是你想要的构造？当然这个比较特殊，由四个等腰三角形拼凑而成。
没这么特殊的可以有 ...
四边形ABCD内部一点P(任意), 恒有。
sin(∠PAB)sin(∠PBC)sin(∠PCD)sin(∠PDA)=sin(∠PBA)sin(∠PAD)sin(∠PDC)sin(∠PCB)
sin(a1)sin(a2)sin(a3)sin(a4)=sin(a5)sin(a6)sin(a7)sin(a8)
{a1,a2,a3,a4=a5,a6,a7,a8}
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=360
我就是想把其中8个角都是整数度数°的解找出来, 既不想太多又不想漏掉。
a1≤a2≤a3≤a4，a5≤a6≤a7≤a8
左边不是同一个数, 右边不是同一个数,
左边与右边没有共同的数,左边+右边没有90的,
a1<a5
我们得保证这P点在四边形内部,
这四边形也不能有一个角≥180的。
我真不知道该怎么描述这些“非平凡解”。
每个解对应的四边形是有多个。
类似: 三角形基本解=123个，696个变化
由这123个基本解可知362种三角形有解，
其中等腰三角形46种，非等腰三角形316种。
尊敬的mathe!不能浪费您宝贵的时间，要不先试试这123个基本解, 出不来就丢了, 心意领了。
northwolves 发表于 2024-3-23 23:50
{38,{{1,59,61,87},{2,58,62,84},{3,29,31,89},{3,39,75,81},{3,57,63,81},{3,63,69,75},{4,56,64,78},{5 ...
我们这个怎么出不来31#？
Select,N[(Sin[#Degree]Sin[#Degree]Sin[#Degree])/(Sin[#Degree]Sin[#Degree]Sin[#Degree])]==1&]
说实在，看不大明白需求。
不过由于解太多了，我们不妨多加一些约束。
要求$/_PAB, /_PAD, /_PDA,/_PDC,/_PCD,/_PCB,/_PBC,/_PBA$全部两两不等，而且要求四边形为凸四边形，这样的约束下有1092组不同的解
3 6 87 75 18 15 126 30
3 6 87 81 12 9 132 30
3 6 93 12 30 48 18 150
3 6 93 18 48 30 12 150
3 6 93 30 48 18 12 150
3 6 93 48 30 12 18 150
3 30 87 75 18 15 126 6
3 30 87 81 12 9 132 6
3 30 93 48 18 12 150 6
6 3 30 126 15 18 75 87
6 3 30 132 9 12 81 87
6 3 150 12 18 48 30 93
6 3 150 12 30 48 18 93
6 3 150 18 12 30 48 93
6 3 150 18 48 30 12 93
6 12 54 72 30 18 144 24
6 12 54 72 36 30 126 24
6 12 54 105 18 15 126 24
6 12 126 15 18 105 54 24
6 12 126 15 54 105 18 24
6 12 126 18 15 54 105 24
6 12 126 18 30 108 36 24
6 12 126 18 36 108 30 24
6 12 126 18 105 54 15 24
6 12 126 30 18 36 108 24
6 12 126 30 36 72 54 24
6 12 126 30 54 72 36 24
6 12 126 30 108 36 18 24
6 12 126 36 18 30 108 24
6 12 126 36 30 54 72 24
6 12 126 36 72 54 30 24
6 12 126 36 108 30 18 24
6 24 54 72 30 18 144 12
6 24 54 72 36 30 126 12
6 24 54 105 18 15 126 12
6 24 126 15 18 105 54 12
6 24 126 15 54 105 18 12
6 24 126 18 15 54 105 12
6 24 126 18 30 108 36 12
6 24 126 18 36 108 30 12
6 24 126 18 105 54 15 12
6 24 126 30 18 36 108 12
6 24 126 30 36 72 54 12
6 24 126 30 54 72 36 12
6 24 126 30 108 36 18 12
6 24 126 36 18 30 108 12
6 24 126 36 30 54 72 12
6 24 126 36 72 54 30 12
6 24 126 36 108 30 18 12
6 87 30 75 18 15 126 3
6 87 30 81 12 9 132 3
6 87 30 126 15 18 75 3
6 87 30 132 9 12 81 3
6 93 30 48 18 12 150 3
9 12 81 3 30 87 6 132
9 12 81 6 87 30 3 132
9 12 81 24 27 96 63 48
9 12 81 24 63 96 27 48
9 12 81 27 24 63 96 48
9 12 81 27 96 63 24 48
9 12 81 30 87 6 3 132
9 12 81 63 24 27 96 48
9 12 81 63 96 27 24 48
9 12 81 87 30 3 6 132
9 12 81 96 27 24 63 48
9 12 81 96 63 24 27 48
9 12 99 15 18 105 54 48
9 12 99 15 54 105 18 48
9 12 99 18 15 54 105 48
9 12 99 18 30 108 36 48
9 12 99 18 36 108 30 48
9 12 99 18 105 54 15 48
9 12 99 24 30 84 54 48
9 12 99 24 54 84 30 48
9 12 99 30 18 36 108 48
9 12 99 30 24 54 84 48
9 12 99 30 36 72 54 48
9 12 99 30 54 72 36 48
9 12 99 30 84 54 24 48
9 12 99 30 108 36 18 48
9 12 99 36 18 30 108 48
9 12 99 36 30 54 72 48
9 12 99 36 72 54 30 48
9 12 99 36 108 30 18 48
9 12 99 54 15 18 105 48
9 12 99 54 24 30 84 48
9 12 99 54 30 36 72 48
9 12 99 54 72 36 30 48
9 12 99 54 84 30 24 48
9 12 99 54 105 18 15 48
9 12 99 72 36 30 54 48
9 12 99 72 54 30 36 48
9 48 81 24 27 96 63 12
9 48 81 24 63 96 27 12
9 48 81 27 24 63 96 12
9 48 81 27 96 63 24 12
9 48 81 63 24 27 96 12
9 48 81 63 96 27 24 12
9 48 81 96 27 24 63 12
9 48 81 96 63 24 27 12
9 48 99 15 18 105 54 12
9 48 99 15 54 105 18 12
9 48 99 18 15 54 105 12
9 48 99 18 30 108 36 12
9 48 99 18 36 108 30 12
9 48 99 18 105 54 15 12
9 48 99 24 30 84 54 12
9 48 99 24 54 84 30 12
9 48 99 30 18 36 108 12
9 48 99 30 24 54 84 12
9 48 99 30 36 72 54 12
9 48 99 30 54 72 36 12
9 48 99 30 84 54 24 12
9 48 99 30 108 36 18 12
9 48 99 36 18 30 108 12
9 48 99 36 30 54 72 12
9 48 99 36 72 54 30 12
9 48 99 36 108 30 18 12
9 48 99 54 15 18 105 12
9 48 99 54 24 30 84 12
9 48 99 54 30 36 72 12
9 48 99 54 72 36 30 12
9 48 99 54 84 30 24 12
9 48 99 54 105 18 15 12
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9 48 99 72 54 30 36 12
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81 12 9 63 96 27 24 48
81 48 9 27 96 63 24 12
81 48 9 63 96 27 24 12
84 18 12 30 96 54 24 42
84 18 12 54 96 30 24 42
84 30 24 12 99 48 9 54
84 30 24 18 96 42 12 54
84 30 24 42 96 18 12 54
84 30 24 48 99 12 9 54
84 42 12 30 96 54 24 18
84 42 12 54 96 30 24 18
84 54 24 12 99 48 9 30
84 54 24 18 96 42 12 30
84 54 24 42 96 18 12 30
84 54 24 48 99 12 9 30
99 12 9 18 105 54 15 48
99 12 9 30 108 36 18 48
99 12 9 36 108 30 18 48
99 12 9 54 105 18 15 48
99 48 9 18 105 54 15 12
99 48 9 30 108 36 18 12
99 48 9 36 108 30 18 12
99 48 9 54 105 18 15 12
102 24 12 18 105 54 15 30
102 24 12 54 105 18 15 30
102 30 12 18 105 54 15 24
102 30 12 54 105 18 15 24
105 18 15 12 126 24 6 54
105 18 15 24 126 12 6 54
105 54 15 12 126 24 6 18
105 54 15 24 126 12 6 18
108 30 18 12 126 24 6 36
108 30 18 24 126 12 6 36
108 36 18 12 126 24 6 30
108 36 18 24 126 12 6 30
比如随意选择了其中第790个作图，结果如下:
即使添加所有8个角都不同，要求凸四边形，解还是太多了。
继续额外添加每个角度都必须是6度的倍数，可以减少到只有10128个解。
本帖最后由 王守恩 于 2024-4-3 14:49 编辑
mathe 发表于 2024-4-3 07:52
即使添加所有8个角都不同，要求凸四边形，解还是太多了。
继续额外添加每个角度都必须是6度的倍数，可以减 ...
这10128个解可以合并。
譬如:1--12,861,862,867--874,883,884,981,982,995--998,....，计138个可以合并成1个解:{6,18,108,126=12,24,30,36}
四边形内部存在一点P, 满足四边形的8个内角都是整数度数°, 这样的点有多少个？
sin(a1)sin(a2)sin(a3)sin(a4)=sin(a5)sin(a6)sin(a7)sin(a8)
{a1,a2,a3,a4=a5,a6,a7,a8}
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=360
理想编排1：a1≤a2≤a3≤a4<90，a1≤a5≤a6≤a7≤a8<90
理想编排2：a1<a2<a3<a4<90,a1<a5<a6<a7<a8<90
交换因数位置解不变, 所以1个解可以对应多个(72个？反正每个都可以有解的)四边形。
看37#图: P出发的4条线段(长短不限),变化无穷，整数度数°的就不多了。
这些解出来后，我们肯定能找到恒等式，囊括大部分解。
譬如31#123个解:有30°的超过1/2,恒等式又可以解决一大半，剩下不多。
就是无法用31#123个解来推这一道题，太难了(跟1#还有点联系)。
的确，可以8个数不管顺序。那么这个附件中，前4个数不用管顺序，后四个数也不用管顺序。
所有整数角度，要求8个角都不同，而且至少有一种排序能够构成凸四边形，只有10787种。
给一个高精度的错误解，类似还有
10 15 62 72 12 21 40 128:7.47638e-11
1 10 45 123 2 11 26 142:8.76191e-09
1 10 97 116 1 12 52 71:1.60799e-08
11 28 43 110 12 23 45 88:7.62804e-10
1 17 62 106 3 19 20 132:4.13958e-09
1 17 70 105 3 6 59 99:3.20625e-09
12 27 66 98 19 24 43 71:5.53015e-10
1 27 66 82 1 38 43 102:5.53015e-10
13 27 66 82 13 38 43 78:5.53015e-10
1 38 49 93 10 11 21 137:1.81134e-09
1 40 73 116 11 13 13 93:1.01876e-09
1 4 104 124 1 10 19 97:1.60799e-08
1 5 116 117 1 7 36 77:2.31733e-08
1 5 72 142 2 2 47 89:2.40314e-08
1 57 87 108 10 10 37 50:2.54172e-09
2 17 43 76 4 7 84 127:5.79528e-09
2 29 58 107 10 17 18 119:1.53799e-09
2 31 56 103 11 12 25 120:7.24686e-11
2 35 42 85 7 8 63 118:4.2187e-10
2 65 88 90 14 20 29 52:8.46245e-10
2 9 100 130 3 7 47 62:1.16762e-08
3 39 44 124 5 25 31 89:1.5558e-09
3 6 55 112 5 7 35 137:4.88036e-09
4 34 83 105 8 31 39 56:6.23618e-10
5 17 58 68 8 12 63 129:1.23262e-09
5 21 59 74 10 10 68 113:1.95363e-09
5 21 66 121 5 31 34 77:1.43992e-09
5 22 82 96 7 20 53 75:1.65349e-09
5 27 53 71 9 12 75 108:5.0061e-10
5 27 66 98 5 38 43 78:5.53015e-10
5 5 79 120 6 8 28 109:2.65733e-09
6 22 36 89 9 20 40 138:2.50427e-10
7 15 68 78 8 21 42 121:3.62067e-10
7 41 55 76 20 23 30 108:3.10191e-10
8 24 38 43 12 16 66 153:5.53015e-10