中轴组的构成和分类
16线图的斜交特征搞清楚了，C类相对单纯，B类和D类可以列出上面第2节所说的备方图了。B类和D类的备方图的关键在于中轴组。
讨论中轴组，B类和D类可以统一考虑，没必要分开。我们且按B类讨论。
将图案中心设在坐标原点，三个正向中心□A，B，C的第一象限顶点坐标分别为(a,a), (b,b), (c,c), 且0<a<b<c。
（与楼上相反，这里把A放在了最内层，往外依次是B，C）
影响中轴组构型的首先是井字格搭配，共有2种搭配（AB总是要的），其次是九宫格存否，不存在九宫格时就是中轴组的合成。
列表如下：
井字格搭配九宫格AB(b=3a)九宫格#C中轴组合成
AB+BC图1.1 b=3a图1.2 c=3b图1.3* c±a=2b
AB+AC图2.1 b=3a图2.2 c=3a图2.3 c-b=2a
只能有一个中轴组，所以表中同行等式是互相排斥的，一个取=号，暗含其它2个取≠号。
*注：图1.3包括两个分图，蓝色框和绿色框二选一。选绿色框时隐去蓝色框和青色填充，选蓝色框时当它裁减框并隐去绿色填充。蓝色框对应c+a=2b, 绿色框对应c-a=2b.
对任一个特定的备方图，仿上楼图3划分出斜方的各特殊位置，然后根据斜方在各开区间的条件解不等式求最小整数解，就能得到所有的最小网格解。
B类的排算----备方图1.1
对于备方图1.1，斜方D与□B是必须相交的，与□A和□C则可二选一，这就分出2个小类了。<br><br>
一、◇D与井字格AB相交，与□C不交。<br>
图1是◇D的一系列边界位置——穿过井字格AB上的直角点的位置，1穿过□C的边中点，是◇D限于框内的边界，5是越过□A的河才能交到□B的边界。<br>
按80#的结论，◇D不能处在这些位置，只能处在这些位置之间的开区间。<br>
设斜方的对角线长度为2d，这些区间边界对应于d=c, 2b, a+b, b, b-a，即d=c, 6a, 4a, 3a, 2a.c在序列中不一定最大<br>
<br>
◇D∈(◇1,◇2)：即2b＜d＜c, 取d=2b+1. b=3a, c≠3b, c±a≠2b。取a=1, b=3, d=7, c=8 最小。<br>
<p>
<canvas id="81#Fig1.1ABsection4" width="322" height="322"></canvas>
<script type="text/javascript">
function draw(){
var canvas = document.getElementById('81#Fig1.1ABsection4');
if(!canvas.getContext) return;
var ctx = canvas.getContext("2d");
//绘制网格点阵
ctx.translate(161, 161);//移动坐标原点到画布中央
for (var x =-8; x <9; x++) {
for (var y =-8; y <9; y++) {
ctx.lineWidth = 0.5;
ctx.beginPath();
// 绘制水平线段
let t=20;
ctx.moveTo(x * t-3 , y *t);
ctx.lineTo(x * t+3, y *t);
// 绘制垂直线段
ctx.moveTo(x * t, y * t -3);
ctx.lineTo(x * t, y *t +3);
ctx.strokeStyle = 'Black';
ctx.stroke();
}
}
//绘制图案
{
let unit=20;//网格单元格大小
let r=8*unit;//网格右边界
let a=unit
let b=3*a
let d=7*a
ctx.beginPath();
ctx.strokeStyle = 'Blue';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.rect(-r, -r, 2*r, 2*r); //外围正方形
//大井字形
ctx.moveTo(-b, r);
ctx.lineTo(-b, -r);
ctx.moveTo(b, r);
ctx.lineTo(b, -r);
ctx.moveTo(-r, b);
ctx.lineTo(r, b);
ctx.moveTo(-r, -b);
ctx.lineTo(r, -b);
//小井字形
ctx.moveTo(-a, d-a );
ctx.lineTo(-a, a-d);
ctx.moveTo(a, d-a);
ctx.lineTo(a, a-d);
ctx.moveTo(a-d,a);
ctx.lineTo(d-a, a);
ctx.moveTo(a-d, -a);
ctx.lineTo(d-a, -a);
//中心斜方
ctx.moveTo(0, d);
ctx.lineTo(d, 0);
ctx.lineTo(0, -d);
ctx.lineTo(-d, 0);
ctx.lineTo(0, d);
ctx.stroke();
}
}
draw();
</script>
</p>
◇D∈(◇2, ◇3)：即4a＜d＜6a. b=3a, c≠3b, c±a≠2b, 取a=1,b=3, d=5, c=6. 即25#郭老板的图<br>
https://bbs.emath.ac.cn/data/attachment/forum/202407/16/230744pbfx65dvxpxzoct8.png<br>
◇D∈(3,4)：即3a＜d＜4a. b=3a, c≠3b, c±a≠2b, 取a=2, b=6, d=7, c=8.<br>
<p>
<canvas id="81#Fig1.1ABsection6" width="322" height="322"></canvas>
<script type="text/javascript">
function draw(){
var canvas = document.getElementById('81#Fig1.1ABsection6');
if(!canvas.getContext) return;
var ctx = canvas.getContext("2d");
//绘制网格点阵
ctx.translate(161, 161);//移动坐标原点到画布中央
for (var x =-8; x <9; x++) {
for (var y =-8; y <9; y++) {
ctx.lineWidth = 0.5;
ctx.beginPath();
// 绘制水平线段
let t=20;
ctx.moveTo(x * t-3 , y *t);
ctx.lineTo(x * t+3, y *t);
// 绘制垂直线段
ctx.moveTo(x * t, y * t -3);
ctx.lineTo(x * t, y *t +3);
ctx.strokeStyle = 'Black';
ctx.stroke();
}
}
//绘制图案
{
let unit=20;//网格单元格大小
let r=8*unit;//网格右边界
let a=2*unit
let b=3*a
let d=7*unit
ctx.beginPath();
ctx.strokeStyle = 'Blue';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.rect(-r, -r, 2*r, 2*r); //外围正方形
//大井字形
ctx.moveTo(-b, r);
ctx.lineTo(-b, -r);
ctx.moveTo(b, r);
ctx.lineTo(b, -r);
ctx.moveTo(-r, b);
ctx.lineTo(r, b);
ctx.moveTo(-r, -b);
ctx.lineTo(r, -b);
//小井字形
ctx.moveTo(-a, b);
ctx.lineTo(-a, -b);
ctx.moveTo(a, b);
ctx.lineTo(a, -b);
ctx.moveTo(-b,a);
ctx.lineTo(b, a);
ctx.moveTo(-b, -a);
ctx.lineTo(b, -a);;
//中心斜方
ctx.moveTo(0, d);
ctx.lineTo(d, 0);
ctx.lineTo(0, -d);
ctx.lineTo(-d, 0);
ctx.lineTo(0, d);
ctx.stroke();
}
}
draw();
</script>
</p>
<br>
◇D=(◇4, ◇5)：即2a＜d＜3a. b=3a, c≠3b, c±a≠2b, 取a=2,b=6, d=5, c=7<br>
<p>
<canvas id="81#Fig1.1ABsection7" width="282" height="282"></canvas>
<script type="text/javascript">
function draw()
{
var canvas = document.getElementById('81#Fig1.1ABsection7');
if(!canvas.getContext) return;
var ctx = canvas.getContext("2d");
//绘制网格点阵
ctx.translate(141,141);
let t=20;//网格单元格大小
for (var x =-7; x <8; x++)
{
for (var y =-7; y <8; y++)
{
ctx.lineWidth = 0.5;
ctx.beginPath();
// 绘制水平线段
ctx.moveTo(3+x * t , y *t);
ctx.lineTo(-3+x * t, y *t);
// 绘制垂直线段
ctx.moveTo(x * t, y * t +3);
ctx.lineTo(x * t, y *t -3);
ctx.strokeStyle = 'Black';
ctx.stroke();
}
}
//绘制图案
{
let s=-7*t;//页边距
let r=7*t;//网格右边界
ctx.beginPath();
ctx.strokeStyle = 'Blue';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.rect(s, s, 2*r, 2*r); //外围正方形
//大井字形
ctx.moveTo(s, s+t);
ctx.lineTo(r, s+t);
ctx.moveTo(s, r-t);
ctx.lineTo(r, r-t);
ctx.moveTo(s+t, s);
ctx.lineTo(s+t, r);
ctx.moveTo(r-t, s);
ctx.lineTo(r-t, r);
//小井字形
ctx.moveTo(s+t, -2*t);
ctx.lineTo(r-t, -2*t);
ctx.moveTo(s+t, 2*t);
ctx.lineTo(r-t, 2*t);
ctx.moveTo(-2*t, s+t);
ctx.lineTo(-2*t, r-t);
ctx.moveTo(2*t, s+t);
ctx.lineTo(2*t, r-t);
//中心斜方
ctx.moveTo(-t, s+t);
ctx.lineTo(r-t, t);
ctx.moveTo(r-t, -t);
ctx.lineTo(-t, r-t);
ctx.moveTo(s+t, -t)
ctx.lineTo(t, r-t);
ctx.moveTo(s+t, t)
ctx.lineTo(t, s+t);
ctx.stroke();
}
}
draw();
</script>
</p>
<br>
二、◇D与井字格BC相交，不与□A相交。<br>
图2是◇D的一系列边界位置——穿过井字格BC上的直角点的位置，1穿过□C的边中点，是◇D限于框内的边界，3是□B的河界，4是交到□A的边界。<br>
设◇D的对角线长度为2d，这些区间边界对应于d=c, 2b, c-b, a+b, 即d=c, 6a, c-3a, 4a.c-3a在序列中位置可能会变动<br>
<br>
◇D∈(◇1, ◇2)由上面的区间(◇1, ◇2)的图调整伸出线即得<br>
<p>
<canvas id="81#Fig1.1ACsection1-2" width="322" height="322"></canvas>
<script type="text/javascript">
function draw(){
var canvas = document.getElementById('81#Fig1.1ACsection1-2');
if(!canvas.getContext) return;
var ctx = canvas.getContext("2d");
//绘制网格点阵
ctx.translate(161, 161);//移动坐标原点到画布中央
for (var x =-8; x <9; x++) {
for (var y =-8; y <9; y++) {
ctx.lineWidth = 0.5;
ctx.beginPath();
// 绘制水平线段
let t=20;
ctx.moveTo(x * t-3 , y *t);
ctx.lineTo(x * t+3, y *t);
// 绘制垂直线段
ctx.moveTo(x * t, y * t -3);
ctx.lineTo(x * t, y *t +3);
ctx.strokeStyle = 'Black';
ctx.stroke();
}
}
//绘制图案
{
let s=5;//页边距
let unit=20;//网格单元格大小
let r=8*unit;//网格右边界
let a=unit
let b=3*a
let d=7*a
ctx.beginPath();
ctx.strokeStyle = 'Blue';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.rect(-r, -r, 2*r, 2*r); //外围正方形
//大井字形
ctx.moveTo(-b, r);
ctx.lineTo(-b, -r);
ctx.moveTo(b, r);
ctx.lineTo(b, -r);
ctx.moveTo(-r, b);
ctx.lineTo(r, b);
ctx.moveTo(-r, -b);
ctx.lineTo(r, -b);
//小井字形
ctx.moveTo(-a, b);
ctx.lineTo(-a, -b);
ctx.moveTo(a, b);
ctx.lineTo(a, -b);
ctx.moveTo(-b,a);
ctx.lineTo(b, a);
ctx.moveTo(-b, -a);
ctx.lineTo(b, -a);
//中心斜方
ctx.moveTo(d-r, r);
ctx.lineTo(r, d-r);
ctx.moveTo(r-d, r);
ctx.lineTo(-r, d-r);
ctx.moveTo(-r, r-d);
ctx.lineTo(r-d, -r);
ctx.moveTo(d-r, -r);
ctx.lineTo(r, r-d);
ctx.stroke();
}
}
draw();
</script>
</p>
◇D∈(◇2, ◇3)由上面的区间(◇2, ◇3)的图(郭老板）调整伸出线即得<br>
<p>
<canvas id="81#Fig1.1ACsection2-3" width="242" height="242"></canvas>
<script type="text/javascript">
function draw(){
var canvas = document.getElementById('81#Fig1.1ACsection2-3');
if(!canvas.getContext) return;
var ctx = canvas.getContext("2d");
//绘制网格点阵
ctx.translate(121, 121);//移动坐标原点到画布中央
for (var x =-6; x <7; x++) {
for (var y =-6; y <7; y++) {
ctx.lineWidth = 0.5;
ctx.beginPath();
// 绘制水平线段
let t=20;
ctx.moveTo(x * t-3 , y *t);
ctx.lineTo(x * t+3, y *t);
// 绘制垂直线段
ctx.moveTo(x * t, y * t -3);
ctx.lineTo(x * t, y *t +3);
ctx.strokeStyle = 'Black';
ctx.stroke();
}
}
//绘制图案
{
let s=5;//页边距
let unit=20;//网格单元格大小
let r=6*unit;//网格右边界
let a=unit;
let b=3*a;
let d=5*a;
ctx.beginPath();
ctx.strokeStyle = 'Blue';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.rect(-r, -r, 2*r, 2*r); //外围正方形
//大井字形
ctx.moveTo(-b, r);
ctx.lineTo(-b, -r);
ctx.moveTo(b, r);
ctx.lineTo(b, -r);
ctx.moveTo(-r, b);
ctx.lineTo(r, b);
ctx.moveTo(-r, -b);
ctx.lineTo(r, -b);
//小井字形
ctx.moveTo(-a, b);
ctx.lineTo(-a, -b);
ctx.moveTo(a, b);
ctx.lineTo(a, -b);
ctx.moveTo(-b,a);
ctx.lineTo(b, a);
ctx.moveTo(-b, -a);
ctx.lineTo(b, -a);
//中心斜方
ctx.moveTo(d-r, r);
ctx.lineTo(r, d-r);
ctx.moveTo(r-d, r);
ctx.lineTo(-r, d-r);
ctx.moveTo(-r, r-d);
ctx.lineTo(r-d, -r);
ctx.moveTo(d-r, -r);
ctx.lineTo(r, r-d);
ctx.stroke();
}
}
draw();
</script>
</p>
◇D∈(◇1, ◇3)，即◇3∈(◇1, ◇2], 从 ◇1 过来先遇到◇3.c＞d＞c-3a≥6a, b=3a, c≠3b=9a, c±a≠2b→c≠5a, 7a. 取a=1, b=3, d=8或者9, c=10最小。<br>
<p>
<canvas id="81#Fig1.1ACsection1-3" width="402" height="402"></canvas>
<script type="text/javascript">
function draw(){
var canvas = document.getElementById('81#Fig1.1ACsection1-3');
if(!canvas.getContext) return;
var ctx = canvas.getContext("2d");
//绘制网格点阵
ctx.translate(201, 201);//移动坐标原点到画布中央
for (var x =-10; x <11; x++) {
for (var y =-10; y <11; y++) {
ctx.lineWidth = 0.5;
ctx.beginPath();
// 绘制水平线段
let t=20;
ctx.moveTo(x * t-3 , y *t);
ctx.lineTo(x * t+3, y *t);
// 绘制垂直线段
ctx.moveTo(x * t, y * t -3);
ctx.lineTo(x * t, y *t +3);
ctx.strokeStyle = 'Black';
ctx.stroke();
}
}
//绘制图案
{
let s=5;//页边距
let unit=20;//网格单元格大小
let r=10*unit;//网格右边界
let a=unit
let b=3*a
let d=8*a
ctx.beginPath();
ctx.strokeStyle = 'Blue';
ctx.lineWidth = 2.5;
ctx.rect(-r, -r, 2*r, 2*r); //外围正方形
//大井字形
ctx.moveTo(-b, r);
ctx.lineTo(-b, -r);
ctx.moveTo(b, r);
ctx.lineTo(b, -r);
ctx.moveTo(-r, b);
ctx.lineTo(r, b);
ctx.moveTo(-r, -b);
ctx.lineTo(r, -b);
//小井字形
ctx.moveTo(-a, b);
ctx.lineTo(-a, -b);
ctx.moveTo(a, b);
ctx.lineTo(a, -b);
ctx.moveTo(-b,a);
ctx.lineTo(b, a);
ctx.moveTo(-b, -a);
ctx.lineTo(b, -a);
//中心斜方
ctx.moveTo(d-r, r);
ctx.lineTo(r, d-r);
ctx.moveTo(r-d, r);
ctx.lineTo(-r, d-r);
ctx.moveTo(-r, r-d);
ctx.lineTo(r-d, -r);
ctx.moveTo(d-r, -r);
ctx.lineTo(r, r-d);
ctx.stroke();
}
}
draw();
</script>
</p>
<br>
结果, 备方图1.1可排算出7解。但是最后这一解看起来与本小类中的第一个是同一种，具有2个自由度，可以收放外框和斜方互致。所以其最小性值得怀疑<br>
唯一的抗辩理由是，在上述收放过程中会经过◇2和◇3这两道坎，这个两坎能不能阻档收放值得考虑。 B类的7个备方图，每个关于◇的位置一般有10个分区◇，分别过
A、B、C 的顶点（d=2a,2b,2c)
A、B、C 边的中点(d=a,b,c)
井字格AB的AXB交点（d=b±a）
井字格#C的#XC交点（d=c±#）
中心(d=0).
看起来是11个◇，但其中d=b±a和d=c±#会与其它的有所重合，已知的情况如下：
备方图1.1 b=3a → d=b-a与d=2a重合
备方图1.2 c=3b → d=c-b与d=2b重合
备方图1.3绿外 c-a=2b → d=c-b与d=b+a重合
备方图1.3蓝外 c+a=2b → d=c-b与d=b-a重合
备方图2.1 b=3a → d=b-a与d=2a重合
备方图2.2 c=3a → d=c-a与d=2a重合
备方图2.3 c-b=2a → d=c-a与d=b+a重合
具体的 a : b : c 可能会产生其它的重合，也会改变10个分区◇的排序，但对最小网格解的排算不会产生大的影响。
但是如上帖之示例，对于具体的备方图，与斜方D不交的正方形的直角点所关联的非临界位置可以忽略。
特色：由 4 个方向的各 4 条等长平行线构成。
16 条线的方案，似乎每条斜边都会被分割成 5 段（或 3 段）；
但本例更特殊：不仅都被分割成 5 段，而且还 5 等分。
所谓正斜：以最大外框线条方位为正，与外框不平行不垂直的线条为斜。
九宫格（九宫需均为正方形）中宫的四个顶点，本构造是夹在斜方格之间；
其实，还可全部落在斜方格之内或之外，但整体网格数需要扩大到 8*3 = 24 见方了。
姊妹版：再构造两个由4组4条等长平行线构成的图案
对比上下两组的九宫格（九宫需均为正方形），由外转内，由正转斜。 hujunhua 发表于 2024-7-26 04:17
如果总是让外面的那个大正方形水平放置，则16线图案一共有3种类型：
B：3正1斜，C：2正2斜，D：1正3斜。
没 ...
【一交二定理】一个毛坯与一个斜向（相对而言）正方形恰好有24个直角三角形当且仅当：
1）不存在三线共点。也就是横竖线不通过双斜线的交点，双斜线也不通过横竖线的交点。
2）斜向正方形与毛坯中的一个井田状或者九宫格相交，不与它的第3个正方形相交。
3）一条斜线与一个正方形相交时，两条平行边交且只交其一。
這個推論非常精彩！可否詳解為何能推出「不存在三線共點」？ ejsoon 发表于 2024-7-29 15:25
這個推論非常精彩！可否詳解為何能推出「不存在三線共點」？
你引用的这个帖子一直在我的电脑上处于修订状态，刚刚重发的一版。
一交二定理已经被完全改述。
其中的 “三、⊿的遍历” 非常重要，基本上解决了 @mathe 所说的数⊿很麻烦，人工难以胜任的问题。
正是基于此法，我在那里坚持使用无图描述。无图就能数清楚⊿的数量，16线图案才能人工完全解决。
其实有些图还是很必要的，但读者根据我的描述不难脑补。我有空了也会来补上图。
修改这个帖子期间，探索和尝试canvas绘图，耽搁了不少时间，使之至今还没有修改好。 B型由于斜线比较少，只有4条，而且全部对称，数◣从斜线出发比顶点出发会更加容易。
可以分为两种:
i)以两条斜线交点为顶点，数完任意两条斜线（比如判断左边的两条斜线和所有竖线是否可以构成◣即可），然后数目乘以4
ii）任意挑选一条斜线，它会和所有横线和竖线有交点，选择一个横线交点和对应横线，一个竖线交点和对应竖线（如果三点共线看成同时有横线和竖线），判断这条横线和竖线是否可以和当前斜线构成◣。总数同样乘以4，就不需要判断其它斜线了。
16线图案完全解决
一、按中心正方形分类
如果总是让外面的那个大□水平放置，则16线图案一共有3种类型：
B：3正1斜，C：2正2斜，D：1正3斜。
由于线条必须从中心□的边延伸出来，斜线也不例外，于是必有◇，没有A型。
如果允许外面的大□斜置，那么D类就是B类中的◇最大的情况。
建议1：好像暫時可以不談「大□斜置」。
二、20个偏置正方形的构成与分组
图案上线段分为两组——横竖组和双斜组。
□只能由同组线段形成。除去4个中心□，还需20个偏置□。
B类，20个偏置□全部由横竖线形成。
C类，20个偏置□两个线组按8+12分配。
D类，20个偏置□全部由斜线形成。
偏置□按对称等价可分为5组，每组4个。包括4个角组和一个中轴组。
澄清1：C類的8+12，是否可能是横竖组8、双斜组12，也可能是横竖组12、双斜组8？
角组由同向的内外两个中心□相交成井田形提供。
B类和D类中，中轴组可包括三层□的边。
1个井田能提供2个角组和4个单矩形。如果4个单矩形成为中轴组，这个井田就称为九宫格。
即使是1个九宫格，也只能提供3个组。还差2组，故至少需要2个井田。
3个井田能提供6个角组。这已超编，显然不行。
所以，必须正好是 2 个井田的配合，才可能恰好产生四角一中的五组偏置□。
建议2：「井田形」是否可改稱「井字形」？「田字」有兩條中軸線。
至此可知，所有的16線圖，都要包含兩組「井字」。
比如 1 个九宫格与 1 个一般井田组合，恰好能产生四角一中的五组。只要它俩的矩形不会再组合或者分割出一个中轴组就好。
或者2个一般井田组合，已能提供4个角组。它俩的矩形可再组合或者分割成 1 个中轴组则正好。
澄清2：「九宮與井字配合」，「兩個非九宮井字配合」，是否就已經涵蓋所有情況？
对于B类和D类而言，这意味着三个同向□中必有一对不相交，即不构成井田。
对于C类，这意味着两个方向必须各自相交，一个构成一般井田，一个构成九宫格。
可见C类单纯一些，可以提前解决。B类和D类细分更多，需要仔细列方程和不等式。
澄清3：設B類的三個□為中環，二環，外環，可否簡單理解為「中環必然不跟二環相交」？
三、⊿的遍历
数⊿要掌握方法，否则很容易数错。
无重无漏遍历的方法：先遍历直角顶点，对每个直角顶点，再遍历相对的斜边。
注意：不要直接一个个去圈⊿，实际操作易错，也不利于找规律和无图描述。
建议3：我一般只數「上」，「左上」，再乘4。
（待續…）
关于建议和澄清的回复
ejsoon 发表于 2024-7-30 10:53建议1：好像暫時可以不談「大□斜置」。
澄清1：C類的8+12，是否可能是横竖组8、双斜组12，也可能是横竖组 ...
建议1。只是解释一下D与B的关系。
澄清1：正确
建议2：井田:=“井字形田块”的简称，不是井+田。借自中国古代的井田制。这个不用纠结，理解就行。直用井字，没外围呀。
澄清2：是的
澄清3：不可。相反，中環必然跟二環相交
建议3：我并不真按此方法逐个去数。而是按这个方法总结斜交模型，然后去套。也就说，是为表述服务的。 本帖最后由 ejsoon 于 2024-7-30 15:20 编辑
hujunhua 发表于 2024-7-30 12:03
建议1。只是解释一下D与B的关系。
澄清1：正确
建议2：井田:=“井字形田块”的简称，不是井+田。借自中国 ...
澄清3：不可。相反，中環必然跟二環相交
40#的中環與二環好像並沒有相交？
補充：
我是把接觸但不穿過稱作相接，把相互交叉的稱作相交。
相接的接觸點叫接點，相交的點叫交點。
不過如果在你的證明中，不用區分相接和相交，那也問題不大。