clion1988 发表于 2024-10-12 17:43
厉害！没达到一定程度怕是搞不出来这些...
原题说是利用初高中知识，沿用初高中知识摸索了好久 ...
原题说是利用初高中知识，沿用初高中知识摸索了好久
能否找到原題的解法？
本帖最后由 nyy 于 2024-10-24 10:04 编辑
clion1988 发表于 2024-10-11 12:58
第二个问题是
（二）如图，已知AB=AC，AE=CE，AD=BC=EF=1，DF=√3，求∠A。
如上图所示。
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*三次使用余弦定理,角的余弦值相等,只解正实数根*)
ans=Solve]==cs==cs&&x>0&&y>0,{x,y},Reals]//FullSimplify
(*利用余弦定理、反余弦函数求解角*)
aaa=ArcCos@cs]/.ans[]//FullSimplify
\[\left\{\left\{x\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^5+\text{$\#$1}^4-4 \text{$\#$1}^3-3 \text{$\#$1}^2+3 \text{$\#$1}+1\&,4\right],y\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^5+\text{$\#$1}^4-4 \text{$\#$1}^3-3 \text{$\#$1}^2+3 \text{$\#$1}+1\&,5\right]\right\}\right\}\]
数值化
{x -> 0.83083002600377285106, y -> 1.6825070656623623377}
角度为
\[\frac{\pi }{11}\]
我的大脑是用来思考的，解方程这类累活脏活就交给电脑吧
代入数据后，计算余弦值，得到方程组
\[\frac{x^2+(x+y)^2-3}{2 x (x+y)}=\frac{x+y+1}{2 (x+1)}=\frac{2 (x+y+1)^2-1}{2 (x+y+1)^2}\]
方程组的数值解
\[\begin{array}{ll}
x\to -2.53209 & y\to -1.3473 \\
x\to -1.91899 & y\to -0.28463 \\
x\to 0.83083 & y\to 1.68251 \\
x\to -0.28463 & y\to -1.30972 \\
x\to 0.879385 & y\to -2.53209 \\
x\to -1.3473 & y\to 0.879385 \\
x\to -1.30972 & y\to 0.83083 \\
x\to 1.68251 & y\to -1.91899 \\
\end{array}\]
nyy 发表于 2024-10-24 09:55
如上图所示。
是否可以藉助電腦，得知其運算過程？
ejsoon 发表于 2024-10-24 12:50
是否可以藉助電腦，得知其運算過程？
解二元方程组，可以使用结式，
就是要计算一个比较大的行列式而已，
秋姐很繁琐，但是我不感兴趣
ejsoon 发表于 2024-10-24 12:50
是否可以藉助電腦，得知其運算過程？
没必要知道详细过程，这个里面计算量很大的，
都是一些没有价值的计算。很繁琐很累人
nyy 发表于 2024-10-24 14:41
没必要知道详细过程，这个里面计算量很大的，
都是一些没有价值的计算。很繁琐很累人 ...
我想知道的是，為何頂角為 $ \pi / 11$ ，底邊為1的等腰三角形，存在這樣的巧合。
這道題目應該有一個巧妙的解法，可以用高中，初中的知識解開。
ejsoon 发表于 2024-10-24 14:48
我想知道的是，為何頂角為 $ \pi / 11$ ，底邊為1的等腰三角形，存在這樣的巧合。
這道題目應該有一個巧 ...
可能真是存在這樣的巧合，怎么也找不出这样简单的解。譬如：
如图, 已知AB=AC, AE=CE, AD=BC=EF=1, ∠A=pi/12,求DF。
王守恩 发表于 2024-10-24 18:58
可能真是存在這樣的巧合，怎么也找不出这样简单的解。譬如：
如图, 已知AB=AC, AE=CE, AD=BC=EF=1, ∠A=p ...
如图？你的图呢？
配图配图配图
ejsoon 发表于 2024-10-23 11:53
如果這個式子只能用軟件來算的話，那麼我估計這道題應該還有其它方法能通過手工運算得到答案。 ...
人工智能来答题
输入
在三角形ABC中， D是AC上的一点， E是AB上的一点， F是CE上的已知AB=AC，AE=CE，AD=BC=EF=1，DF=√3，求∠A。
输出
首先，我们根据题目条件，可以逐步分析并求解角度
\angle A
∠A。
第一步，由题目信息，可知
AB=AC
AB=AC，
AE=CE
AE=CE，
AD=BC=EF=1
AD=BC=EF=1，
DF=\sqrt{3}
DF=
3
。
第二步，根据等腰三角形的性质，若
AB=AC
AB=AC，则
\angle B = \angle C
∠B=∠C。
第三步，由于
AE=CE
AE=CE，根据等腰三角形的底边上的性质，可知
\angle ACE = \angle CAE
∠ACE=∠CAE。设
\angle ACE = \angle CAE = x
∠ACE=∠CAE=x，则
\angle AEC = 180^\circ - 2x
∠AEC=180
∘
−2x。
第四步，由于
\angle AEC
∠AEC是
\triangle BEC
△BEC的外角，根据外角等于两不相邻内角之和，有
\angle AEC = \angle B + \angle BCE
∠AEC=∠B+∠BCE。由于
\angle B = \angle C
∠B=∠C，且
\angle BCE = \angle ACE = x
∠BCE=∠ACE=x，则
\angle AEC = \angle B + x = \angle C + x
∠AEC=∠B+x=∠C+x。由于
\angle B = \angle C
∠B=∠C，则
\angle AEC = 2\angle C = 2(\frac{180^\circ - \angle A}{2}) = 180^\circ - \angle A
∠AEC=2∠C=2(
2
180
∘
−∠A
)=180
∘
−∠A。因此，
180^\circ - 2x = 180^\circ - \angle A
180
∘
−2x=180
∘
−∠A，解得
x = \frac{\angle A}{2}
x=
2
∠A
。
第五步，由于
DF=\sqrt{3}
DF=
3
，
EF=1
EF=1，根据勾股定理，可知
\triangle DEF
△DEF是直角三角形，且
\angle DEF = 30^\circ
∠DEF=30
∘
或
60^\circ
60
∘
。
第六步，若
\angle DEF = 30^\circ
∠DEF=30
∘
，则
\angle CEF = 180^\circ - \angle AEC - \angle DEF = 180^\circ - (180^\circ - 2x) - 30^\circ = 2x - 30^\circ
∠CEF=180
∘
−∠AEC−∠DEF=180
∘
−(180
∘
−2x)−30
∘
=2x−30
∘
。由于
x = \frac{\angle A}{2}
x=
2
∠A
，则
\angle CEF = \angle A - 30^\circ
∠CEF=∠A−30
∘
。又因为
\angle CEF = \angle C + \angle CFE
∠CEF=∠C+∠CFE，且
\angle CFE = \angle DFE - \angle DFC = 60^\circ - \angle DFC
∠CFE=∠DFE−∠DFC=60
∘
−∠DFC，则
\angle A - 30^\circ = \frac{180^\circ - \angle A}{2} + 60^\circ - \angle DFC
∠A−30
∘
=
2
180
∘
−∠A
+60
∘
−∠DFC。由于
AD=BC=1
AD=BC=1，
\angle ADC = \angle BCF
∠ADC=∠BCF（对顶角），
\angle ACD = \angle CBF = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 2\angle C = \angle B
∠ACD=∠CBF=180
∘
−∠A−∠C=180
∘
−2∠C=∠B，则
\triangle ADC \cong \triangle CBF
△ADC≅△CBF（AAS），所以
\angle DFC = \angle BFC = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - \frac{180^\circ - \angle A}{2}}{2} = 45^\circ + \frac{\angle A}{4}
∠DFC=∠BFC=
2
180
∘
−∠B
=
2
180
∘
−
2
180
∘
−∠A
=45
∘
+
4
∠A
。代入上式得
\angle A - 30^\circ = \frac{180^\circ - \angle A}{2} + 60^\circ - (45^\circ + \frac{\angle A}{4})
∠A−30
∘
=
2
180
∘
−∠A
+60
∘
−(45
∘
+
4
∠A
)，解得
\angle A = 100^\circ
∠A=100
∘
（舍去，因为此时
\angle DEF
∠DEF不是最大角，与直角三角形的性质矛盾）或
\angle A = 20^\circ
∠A=20
∘
。
第七步，若
\angle DEF = 60^\circ
∠DEF=60
∘
，则同理可得
\angle CEF = 120^\circ - \angle A
∠CEF=120
∘
−∠A。又因为
\angle CEF = \angle C + \angle CFE
∠CEF=∠C+∠CFE，且
\angle CFE = 180^\circ - \angle DFE - \angle EFD = 120^\circ - \angle DFC
∠CFE=180
∘
−∠DFE−∠EFD=120
∘
−∠DFC，则
120^\circ - \angle A = \frac{180^\circ - \angle A}{2} + 120^\circ - (120^\circ - \angle DFC)
120
∘
−∠A=
2
180
∘
−∠A
+120
∘
−(120
∘
−∠DFC)。由于
\angle DFC
∠DFC的表达式与第六步相同，代入后得
\angle A = -20^\circ
∠A=−20
∘
（无解）或
\angle A = 80^\circ
∠A=80
∘
（舍去，因为此时
\angle DEF
∠DEF不是最大角且
\triangle DEF
△DEF不是直角三角形）。但这里我们注意到当
\angle DEF = 60^\circ
∠DEF=60
∘
时，由于
\triangle DEF
△DEF是直角三角形且
\angle DFE = 30^\circ
∠DFE=30
∘
，所以
\angle CEF
∠CEF不能是钝角即
120^\circ - \angle A
120
∘
−∠A不能大于
90^\circ
90
∘
，因此
\angle A
∠A必须大于
30^\circ
30
∘
。而由于我们已经通过第六步得出了
\angle A = 20^\circ
∠A=20
∘
是当
\angle DEF
∠DEF为锐角时的解，并且此时满足所有条件（包括
\triangle DEF
△DEF是直角三角形），所以不需要再考虑
\angle DEF = 60^\circ
∠DEF=60
∘
的情况。
综上，
\angle A = 20^\circ
∠A=20
∘
。
不知道这个解答有没有可取的地方。解答是错误的
nyy 发表于 2024-10-25 09:37
人工智能来答题
输入
這種題AI是解不出來的，簡單的都不能。