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楼主: clion1988

[提问] 我尚不明白的偏智力题类型数学题求详细解答/分析

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发表于 2024-10-23 23:20:14 | 显示全部楼层
clion1988 发表于 2024-10-12 17:43
厉害!没达到一定程度怕是搞不出来这些...
原题说是利用初高中知识,沿用初高中知识摸索了好久 ...
原题说是利用初高中知识,沿用初高中知识摸索了好久


能否找到原題的解法?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-10-24 09:55:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-10-24 10:04 编辑
clion1988 发表于 2024-10-11 12:58
第二个问题是
(二)如图,已知AB=AC,AE=CE,AD=BC=EF=1,DF=√3,求∠A。


QQ截图20241024095108.jpg

如上图所示。
  1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  5. (*三次使用余弦定理,角的余弦值相等,只解正实数根*)
  6. ans=Solve[cs[x,x+y,Sqrt[3]]==cs[1+x,1+x+y,1+x]==cs[1+x+y,1+x+y,1]&&x>0&&y>0,{x,y},Reals]//FullSimplify
  7. (*利用余弦定理、反余弦函数求解角*)
  8. aaa=ArcCos@cs[x,x+y,Sqrt[3]]/.ans[[1]]//FullSimplify
复制代码


\[\left\{\left\{x\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^5+\text{$\#$1}^4-4 \text{$\#$1}^3-3 \text{$\#$1}^2+3 \text{$\#$1}+1\&,4\right],y\to \text{Root}\left[\text{$\#$1}^5+\text{$\#$1}^4-4 \text{$\#$1}^3-3 \text{$\#$1}^2+3 \text{$\#$1}+1\&,5\right]\right\}\right\}\]

数值化
{x -> 0.83083002600377285106, y -> 1.6825070656623623377}

角度为
\[\frac{\pi }{11}\]

我的大脑是用来思考的,解方程这类累活脏活就交给电脑吧

代入数据后,计算余弦值,得到方程组
\[\frac{x^2+(x+y)^2-3}{2 x (x+y)}=\frac{x+y+1}{2 (x+1)}=\frac{2 (x+y+1)^2-1}{2 (x+y+1)^2}\]

方程组的数值解
\[\begin{array}{ll}
x\to -2.53209 & y\to -1.3473 \\
x\to -1.91899 & y\to -0.28463 \\
x\to 0.83083 & y\to 1.68251 \\
x\to -0.28463 & y\to -1.30972 \\
x\to 0.879385 & y\to -2.53209 \\
x\to -1.3473 & y\to 0.879385 \\
x\to -1.30972 & y\to 0.83083 \\
x\to 1.68251 & y\to -1.91899 \\
\end{array}\]
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发表于 2024-10-24 12:50:11 | 显示全部楼层

是否可以藉助電腦,得知其運算過程?
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发表于 2024-10-24 12:54:44 | 显示全部楼层
ejsoon 发表于 2024-10-24 12:50
是否可以藉助電腦,得知其運算過程?

解二元方程组,可以使用结式,
就是要计算一个比较大的行列式而已,
秋姐很繁琐,但是我不感兴趣
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发表于 2024-10-24 14:41:13 | 显示全部楼层
ejsoon 发表于 2024-10-24 12:50
是否可以藉助電腦,得知其運算過程?

没必要知道详细过程,这个里面计算量很大的,
都是一些没有价值的计算。很繁琐很累人
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发表于 2024-10-24 14:48:08 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-10-24 14:41
没必要知道详细过程,这个里面计算量很大的,
都是一些没有价值的计算。很繁琐很累人 ...

我想知道的是,為何頂角為 $ \pi / 11$ ,底邊為1的等腰三角形,存在這樣的巧合。

這道題目應該有一個巧妙的解法,可以用高中,初中的知識解開。
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发表于 2024-10-24 18:58:01 | 显示全部楼层
ejsoon 发表于 2024-10-24 14:48
我想知道的是,為何頂角為 $ \pi / 11$ ,底邊為1的等腰三角形,存在這樣的巧合。

這道題目應該有一個巧 ...

可能真是存在這樣的巧合,怎么也找不出这样简单的解。譬如:

如图, 已知AB=AC, AE=CE, AD=BC=EF=1, ∠A=pi/12,  求DF。
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发表于 2024-10-25 09:30:01 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-10-24 18:58
可能真是存在這樣的巧合,怎么也找不出这样简单的解。譬如:

如图, 已知AB=AC, AE=CE, AD=BC=EF=1, ∠A=p ...

如图?你的图呢?
配图配图配图
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发表于 2024-10-25 09:37:18 | 显示全部楼层
ejsoon 发表于 2024-10-23 11:53
如果這個式子只能用軟件來算的話,那麼我估計這道題應該還有其它方法能通過手工運算得到答案。 ...

人工智能来答题

输入
在三角形ABC中, D是AC上的一点, E是AB上的一点, F是CE上的已知AB=AC,AE=CE,AD=BC=EF=1,DF=√3,求∠A。

输出
首先,我们根据题目条件,可以逐步分析并求解角度
\angle A
∠A。

第一步,由题目信息,可知
AB=AC
AB=AC,
AE=CE
AE=CE,
AD=BC=EF=1
AD=BC=EF=1,
DF=\sqrt{3}
DF=
3
        ​



第二步,根据等腰三角形的性质,若
AB=AC
AB=AC,则
\angle B = \angle C
∠B=∠C。

第三步,由于
AE=CE
AE=CE,根据等腰三角形的底边上的性质,可知
\angle ACE = \angle CAE
∠ACE=∠CAE。设
\angle ACE = \angle CAE = x
∠ACE=∠CAE=x,则
\angle AEC = 180^\circ - 2x
∠AEC=180

−2x。

第四步,由于
\angle AEC
∠AEC是
\triangle BEC
△BEC的外角,根据外角等于两不相邻内角之和,有
\angle AEC = \angle B + \angle BCE
∠AEC=∠B+∠BCE。由于
\angle B = \angle C
∠B=∠C,且
\angle BCE = \angle ACE = x
∠BCE=∠ACE=x,则
\angle AEC = \angle B + x = \angle C + x
∠AEC=∠B+x=∠C+x。由于
\angle B = \angle C
∠B=∠C,则
\angle AEC = 2\angle C = 2(\frac{180^\circ - \angle A}{2}) = 180^\circ - \angle A
∠AEC=2∠C=2(
2
180

−∠A
        ​

)=180

−∠A。因此,
180^\circ - 2x = 180^\circ - \angle A
180

−2x=180

−∠A,解得
x = \frac{\angle A}{2}
x=
2
∠A
        ​



第五步,由于
DF=\sqrt{3}
DF=
3
        ​


EF=1
EF=1,根据勾股定理,可知
\triangle DEF
△DEF是直角三角形,且
\angle DEF = 30^\circ
∠DEF=30


60^\circ
60



第六步,若
\angle DEF = 30^\circ
∠DEF=30

,则
\angle CEF = 180^\circ - \angle AEC - \angle DEF = 180^\circ - (180^\circ - 2x) - 30^\circ = 2x - 30^\circ
∠CEF=180

−∠AEC−∠DEF=180

−(180

−2x)−30

=2x−30

。由于
x = \frac{\angle A}{2}
x=
2
∠A
        ​

,则
\angle CEF = \angle A - 30^\circ
∠CEF=∠A−30

。又因为
\angle CEF = \angle C + \angle CFE
∠CEF=∠C+∠CFE,且
\angle CFE = \angle DFE - \angle DFC = 60^\circ - \angle DFC
∠CFE=∠DFE−∠DFC=60

−∠DFC,则
\angle A - 30^\circ = \frac{180^\circ - \angle A}{2} + 60^\circ - \angle DFC
∠A−30

=
2
180

−∠A
        ​

+60

−∠DFC。由于
AD=BC=1
AD=BC=1,
\angle ADC = \angle BCF
∠ADC=∠BCF(对顶角),
\angle ACD = \angle CBF = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 2\angle C = \angle B
∠ACD=∠CBF=180

−∠A−∠C=180

−2∠C=∠B,则
\triangle ADC \cong \triangle CBF
△ADC≅△CBF(AAS),所以
\angle DFC = \angle BFC = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - \frac{180^\circ - \angle A}{2}}{2} = 45^\circ + \frac{\angle A}{4}
∠DFC=∠BFC=
2
180

−∠B
        ​

=
2
180


2
180

−∠A
        ​

        ​

=45

+
4
∠A
        ​

。代入上式得
\angle A - 30^\circ = \frac{180^\circ - \angle A}{2} + 60^\circ - (45^\circ + \frac{\angle A}{4})
∠A−30

=
2
180

−∠A
        ​

+60

−(45

+
4
∠A
        ​

),解得
\angle A = 100^\circ
∠A=100

(舍去,因为此时
\angle DEF
∠DEF不是最大角,与直角三角形的性质矛盾)或
\angle A = 20^\circ
∠A=20



第七步,若
\angle DEF = 60^\circ
∠DEF=60

,则同理可得
\angle CEF = 120^\circ - \angle A
∠CEF=120

−∠A。又因为
\angle CEF = \angle C + \angle CFE
∠CEF=∠C+∠CFE,且
\angle CFE = 180^\circ - \angle DFE - \angle EFD = 120^\circ - \angle DFC
∠CFE=180

−∠DFE−∠EFD=120

−∠DFC,则
120^\circ - \angle A = \frac{180^\circ - \angle A}{2} + 120^\circ - (120^\circ - \angle DFC)
120

−∠A=
2
180

−∠A
        ​

+120

−(120

−∠DFC)。由于
\angle DFC
∠DFC的表达式与第六步相同,代入后得
\angle A = -20^\circ
∠A=−20

(无解)或
\angle A = 80^\circ
∠A=80

(舍去,因为此时
\angle DEF
∠DEF不是最大角且
\triangle DEF
△DEF不是直角三角形)。但这里我们注意到当
\angle DEF = 60^\circ
∠DEF=60

时,由于
\triangle DEF
△DEF是直角三角形且
\angle DFE = 30^\circ
∠DFE=30

,所以
\angle CEF
∠CEF不能是钝角即
120^\circ - \angle A
120

−∠A不能大于
90^\circ
90

,因此
\angle A
∠A必须大于
30^\circ
30

。而由于我们已经通过第六步得出了
\angle A = 20^\circ
∠A=20

是当
\angle DEF
∠DEF为锐角时的解,并且此时满足所有条件(包括
\triangle DEF
△DEF是直角三角形),所以不需要再考虑
\angle DEF = 60^\circ
∠DEF=60

的情况。

综上,
\angle A = 20^\circ
∠A=20


不知道这个解答有没有可取的地方。解答是错误的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-10-25 11:33:25 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-10-25 09:37
人工智能来答题

输入

這種題AI是解不出來的,簡單的都不能。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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