northwolves 发表于 2024-11-14 15:54
$a_1=1,\ a_n=15*10^{n-1}+(-1)^n* 3^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }$
收获颇丰。“11”还可以有吗？谢谢！
(11)。数码和是11倍数的n位数。{0, 8, 82, 818, 8182, 81818, 818182, 8181818, 81818182, 818181818, 8181818181, 81818181819, 818181818182, 8181818181818, 81818181818182}
NestList, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0}, 14][]
矩阵特征多项式最大可以是数码和是27倍数的n位数。用一个庞大的方程(免了)才解出来的。再往前冲就无法了！
{x^19-19x^18+171x^17-978x^16+2562x^15-11088x^14+29904x^13-83616x^12+130284x^11-179354x^10+154757x^9-145242x^8+97944x^7-75390x^6+32796x^5-13128x^4+1716x^3-360x^2+1x-10}
LinearRecurrence[{19, -171, 978, -2562, 11088, -29904, 83616, -130284, 179354, -154757, 145242, -97944, 75390, -32796, 13128, -1716, 360, -1, 10}, {2826531333333333/-1000000000,
16860266666667/100000000, 354906666667/10000000, 8979333333/-1000000, 44066667/100000, 1146667/10000, 21333/-1000, 267/100, 7/10, 0, 0, 1, 219,4620,50413,386727,2694120,24930511,306816399},54]
{0, 0, 1, 219, 4620, 50413, 386727, 2694120, 24930511, 306816399, 3649461057, 37492291378, 346450438830, 3176913779355, 31275582443221, 326843073213153, 3410727440409699, 34351481452917616,
336544621443651231, 3295039792904595360, 32829567733651157317, 331744432184655208626, 3352280448698839345701, 33582589603267858822723, 334119499697614811297838, 3323958562048043232630384,
33210004769845318870361800, 332944349062439098149224211, 3337971840827302938701074029, 33394354605061326968235676264, 333525797383995665320312622964, 3331038263819905732445495897421,
33303140849954759394988153630795, 333238104776371886352232491621408, 3334468902064935731054553505467444, 33348272157562206497067663978962932, 333380451109508897214136726501250607,
3332771469591669412402333591124664858, 33325941809206519759849678586716328605, 333310020107736210439737791680716571113, 3333611335761025322109224220126856968141,......
以“0”为界，往前没有规律，往后好像还有点规律。
接31楼。
矩阵特征多项式{x^11-11x^10+11x^9-11x^8+11x^7-11x^6+11x^5-11x^4+11x^3-11x^2+11x-10}
漂亮的数字串！漂亮的矩阵特征多项式！就不能有一个漂亮的通项公式吗？！(OEIS没有这串数)
0,
8,
82,
818,
8182,
81818,
818182,
8181818,
81818182,
818181818,
8181818181,
81818181819,
818181818182,
8181818181818,
81818181818182,
818181818181818,
8181818181818182,
81818181818181818,
818181818181818182,
8181818181818181818,
81818181818181818182,
818181818181818181819,
8181818181818181818181,
81818181818181818181818,
818181818181818181818182,
8181818181818181818181818,
81818181818181818181818182,
818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818,
81818181818181818181818181818181,
818181818181818181818181818181819,
8181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818181818,
81818181818181818181818181818181818182,
818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818181818181819,
81818181818181818181818181818181818181818181,
818181818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818181818181818181818,
81818181818181818181818181818181818181818181818182,
818181818181818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181,
8181818181818181818181818181818181818181818181818181819,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181819,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181}
通项公式可以有。就是太丑了。
Table[(9*10^n - Cos - Cos - Cos - Cos - Cos - Cos - Cos - Cos
- Cos - Cos + Cos[(n + 1) Pi/11] + Cos + Cos - Cos[(13 n + 2) Pi/11] - Cos[(15 n + 4) Pi/11]
- Sin[(14 n + 3) Pi/22] + Sin -Sin[(18 n + 7) Pi/22] + Sin[(34 n + 1) Pi/22] + Sin[(38 n + 5) Pi/22])/11, {n, 0, 22}] // FullSimplify
矩阵特征多项式的出现没有找到规律。
数码和是37(90/37=2.43243243...)倍数的n位数。庞大的方程(38个=)就不显示了！
{x^38 - 38x^37 + 703x^36 - 8436x^35 + 73815x^34 - 505605x^33 + 2766786x^32- 12269718x^31 + 45131268x^30 - 141996306x^29 + 394924828x^28
- 998811226x^27 + 2336498496x^26 - 5067496653x^25 + 10096017654x^24 - 18222613146x^23 + 29427079908x^22 - 42156803220x^21 + 53340665200x^20
- 59543743098x^19 + 58728747798x^18 - 51377411012x^17 + 40112519217x^16 - 28178192712x^15 + 17965995391x^14 - 10462465062x^13 + 5565989217x^12
- 2682338236x^11 + 1151539419x^10 - 430583985x^9 + 136670933x^8 - 35808711x^7 + 7509261x^6 - 1219372x^5 + 150072x^4 - 14652x^3 + 1332x^2 - 121x + 10},
LinearRecurrence[{38, -703, 8436, -73815, 505605, -2766786, 12269718, -45131268, 141996306, -394924828 , 998811226, -2336498496, 5067496653, -10096017654, 18222613146, -29427079908,
42156803220, -53340665200, 59543743098, -58728747798,51377411012, -40112519217, 28178192712, -17965995391, 10462465062, -5565989217, 2682338236, -1151539419, 430583985, -136670933,
35808711, -7509261, 1219372, -150072, 14652, -1332, 121, -10}, {0, 0, 0, 0, 495, 21087, 381723, 4379055, 37351050, 259374995, 1653501806, 13048390511, 158903196662,2239291048139,
28507785272627,311821366378658, 2979627311374646, 25944869574276674, 221134220847650709, 2022908595156341888, 20820683768985425752, 230548359791505501334, 2544756190911454736212,
26754690217116339514123, 265502948859518368360799, 2526506420603700796366395, 23782667410908819841903609, 228949643396870922687643202, 2292183328696391495589625914,
23651720507472264482319879267, 245635521005162956364317796789, 2515708080095173551538053498687, 25201229281143759728637114839865, 247926170046230884343949953513351,
2423578028252762512699632250040106, 23844241308197519752109783182264398, 237801055208458779845139040408941091, 2400491106257829908959870229657180624}, 78]
northwolves 发表于 2024-11-7 17:07
{1285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285693640709593633830156727072166831 ...
这“条码”还是很实用的。谢谢 northwolves ！
问题1。有很多“0”的条码，这些“0”可有缩写的方法？
NestList, #] &,
{0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, 100][]
问题2。只要是这样的条码，肯定有特征多项式(虽然不好找)？
问题3。怎样的数字串，可以有这样的条码，譬如：
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,
(一), n位数, 各位数字之和等于n。
这样的1位数有1个。
这样的2位数有2个。
这样的3位数有6个。
这样的4位数有20个。
这样的5位数有70个。
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48619, 184735, 705222, 2702609, 10390940, 40062132, 154830696, 599641425, 2326640877, 9042327525, 35194002709, ——A071976——没有规律。
A071976给出了前1100项！佩服！不知道是怎么出来的，用我们的算式连第10项也出不来。
Table, Total@IntegerDigits@# == a &], {a, 9}]
(二), n位数, 各位数字之和等于n的倍数。
这样的1位数有9个。
这样的2位数有45个。
这样的3位数有300个。
这样的4位数有2249个。
这样的5位数有18000个。
9, 45, 300, 2249, 18000, 149991, 1285774, 11249985, 100000000, 900000000, 8181818181, 74999999501, 692307584595, 6428564424863, 59999717638617, 562491672466081, 5293918597046695,
OEIS没有这串数。我是用下面的算式一项一项一项拉出来的。可有好一点的方法？谢谢！
NestList, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 20][]
n位数, 各位数字之和等于n的倍数。
这样的1位数有9个。
这样的2位数有45个。
这样的3位数有300个。
这样的4位数有2249个。
这样的5位数有18000个。
9, 45, 300, 2249, 18000, 149991, 1285774, 11249985, 100000000, 900000000, 8181818181, 74999999501, 692307584595, 6428564424863, 59999717638617, 562491672466081, 5293918597046695,
Max, #] &, {9}, 0][]]——9.
Max, #] &, {4, 5}, 1][]]——45.
Max, #] &, {3, 3, 3},2][]]——300.
Max, #] &, {2, 3, 2, 2}, 3][]]——2249.
Max, #] &, {1, 2, 2, 2, 2}, 4][]]——18000.
Max, #] &, {1, 2, 2, 2, 1, 1}, 5][]]——149991.
Max, #] &, {1, 2, 2, 1, 1, 1, 1}, 6][]]——1285774.
Max, #] &, {1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 7][]]——11249985.
Max, #] &, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 8][]]——100000000.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 9][]]—— 900000000.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0}, 10][]]——8181818181.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0}, 11][]]——74999999501.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0}, 12][]]——692307584595.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0}, 13][]]——6428564424863.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0}, 14][]]——59999717638617
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 15][]]——562491672466081.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 16][]]——5293918597046695.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 17][]]——49995907208582972.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 18][]]——473609016175792282.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 19][]]——4498733541313295104.
Max, #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 20][]]——42837232212522918635.
各位大侠！上面的条码可有简化的可能？ 谢谢！当然可以用下面的条码,可惜就是连第10项也出不来。
Table, Mod == 0 &]], {a, 9}]
9, 45, 300, 2249, 18000, 149991, 1285774, 11249985, 100000000,
王守恩 发表于 2024-11-25 11:53
n位数, 各位数字之和等于n的倍数。
这样的1位数有9个。
Table[Max[
NestList[Dot[
NestList,
k], #] &, IntegerDigits, k][[All,
1]]], {k, 9, 30}]
{900000000,8181818181,74999999501,692307584595,6428564424863,59999717638617,562491672466081,5293918597046695,49995907208582972,473609016175792282,4498733541313295104,42837232212522918635,408794838045095140277,3908837936775126273473,37442500308713197788969,359238774813254052475625,3451733981871081223676244,33210004769845318870361800,319908753084273214311674685,3085051810541178940946326518,29780804272800238762381211289,287746988849623049435570362721}
northwolves 发表于 2024-11-25 16:28
{900000000,8181818181,74999999501,692307584595,6428564424863,59999717638617,562491672466081,5293 ...
还是提问题。这样的10,11,12,13,...位数答案不踏实(1——9没问题)。
n位数, 各位数字之和等于n的倍数。
这样的1位数有9个。
这样的2位数有45个。
这样的3位数有300个。
这样的4位数有2249个。
这样的5位数有18000个。
这样的6位数有149991个。
这样的7位数有1285774个。
这样的8位数有11249985个。
这样的9位数有100000000个。
这样的10位数有900000000个?
这样的11位数有8181818181个?
这样的12位数有74999999501个?
这样的13位数有692307584595个?
这样的14位数有6428564424863个?
这样的15位数有59999717638617个?
9, 45, 300, 2249, 18000, 149991, 1285774, 11249985, 100000000, 900000000, 8181818181, 74999999501, 692307584595, 6428564424863, 59999717638617,
Length, Mod == 0 &]]
我用上面的条码,10位数(900000000)就验算不了。
这样的10,11,12,13,...位数答案不踏实(1——9没问题)。也是因为
n位数, 各位数字之和等于n。
这样的1位数有1个。
这样的2位数有2个。
这样的3位数有6个。
这样的4位数有20个。
这样的5位数有70个。
答案是A71976：1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48619, 184735, 705222, 2702609, 10390940, 40062132, 154830696, 599641425, 2326640877, 9042327525, 35194002709, ——没有规律——A071976给出了前1100项！佩服！
而不是A00984：1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440,
从10,11,12,13,...位数开始,答案就不一样了。