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数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 难题征解 › 数码和是7倍数的n位数
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楼主: 王守恩

[求助] 数码和是7倍数的n位数

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王守恩
 楼主| 发表于 2024-11-15 17:21:05 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2024-11-14 15:54
$a_1=1,\ a_n=15*10^{n-1}+(-1)^n* 3^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }$

收获颇丰。“11”还可以有吗？谢谢！

(11)。数码和是11倍数的n位数。{0, 8, 82, 818, 8182, 81818, 818182, 8181818, 81818182, 818181818, 8181818181, 81818181819, 818181818182, 8181818181818, 81818181818182}
NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 10], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0}, 14][[All, 1]]
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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王守恩
 楼主| 发表于 2024-11-16 13:19:47 | 显示全部楼层
矩阵特征多项式最大可以是数码和是27倍数的n位数。用一个庞大的方程(免了)才解出来的。再往前冲就无法了！

{x^19-19x^18+171x^17-978x^16+2562x^15-11088x^14+29904x^13-83616x^12+130284x^11-179354x^10+154757x^9-145242x^8+97944x^7-75390x^6+32796x^5-13128x^4+1716x^3-360x^2+1x-10}
  1. LinearRecurrence[{19, -171, 978, -2562, 11088, -29904, 83616, -130284, 179354, -154757, 145242, -97944, 75390, -32796, 13128, -1716, 360, -1, 10}, {2826531333333333/-1000000000,
  2. 16860266666667/100000000, 354906666667/10000000, 8979333333/-1000000, 44066667/100000, 1146667/10000, 21333/-1000, 267/100, 7/10, 0, 0, 1, 219,4620,50413,386727,2694120,24930511,306816399},54]
复制代码

{0, 0, 1, 219, 4620, 50413, 386727, 2694120, 24930511, 306816399, 3649461057, 37492291378, 346450438830, 3176913779355, 31275582443221, 326843073213153, 3410727440409699, 34351481452917616,
336544621443651231, 3295039792904595360, 32829567733651157317, 331744432184655208626, 3352280448698839345701, 33582589603267858822723, 334119499697614811297838, 3323958562048043232630384,
33210004769845318870361800, 332944349062439098149224211, 3337971840827302938701074029, 33394354605061326968235676264, 333525797383995665320312622964, 3331038263819905732445495897421,
33303140849954759394988153630795, 333238104776371886352232491621408, 3334468902064935731054553505467444, 33348272157562206497067663978962932, 333380451109508897214136726501250607,
3332771469591669412402333591124664858, 33325941809206519759849678586716328605, 333310020107736210439737791680716571113, 3333611335761025322109224220126856968141,  ......

以“0”为界，往前没有规律，往后好像还有点规律。
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王守恩
 楼主| 发表于 2024-11-16 19:27:40 | 显示全部楼层
接31楼。

矩阵特征多项式{x^11-11x^10+11x^9-11x^8+11x^7-11x^6+11x^5-11x^4+11x^3-11x^2+11x-10}

漂亮的数字串！漂亮的矩阵特征多项式！就不能有一个漂亮的通项公式吗？！  (OEIS没有这串数)

0,
8,
82,
818,
8182,
81818,
818182,
8181818,
81818182,
818181818,
8181818181,
81818181819,
818181818182,
8181818181818,
81818181818182,
818181818181818,
8181818181818182,
81818181818181818,
818181818181818182,
8181818181818181818,
81818181818181818182,
818181818181818181819,
8181818181818181818181,
81818181818181818181818,
818181818181818181818182,
8181818181818181818181818,
81818181818181818181818182,
818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818,
81818181818181818181818181818181,
818181818181818181818181818181819,
8181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818181818,
81818181818181818181818181818181818182,
818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818181818181819,
81818181818181818181818181818181818181818181,
818181818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818181818181818181818,
81818181818181818181818181818181818181818181818182,
818181818181818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181,
8181818181818181818181818181818181818181818181818181819,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818181818,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818,
8181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818182,
81818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181819,
818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181}
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王守恩
 楼主| 发表于 2024-11-17 15:42:08 | 显示全部楼层
通项公式可以有。就是太丑了。
  1. Table[(9*10^n - Cos[n Pi/11] - Cos[3 n Pi/11] - Cos[5 n Pi/11] - Cos[7 n Pi/11] - Cos[9 n Pi/11] - Cos[13 n Pi/11] - Cos[15 n Pi/11] - Cos[17 n Pi/11]
  2. - Cos[19 n Pi/11] - Cos[21 n Pi/11] + Cos[(n + 1) Pi/11] + Cos[3 (n + 1) Pi/11] + Cos[5 (n + 1) Pi/11] - Cos[(13 n + 2) Pi/11] - Cos[(15 n + 4) Pi/11]
  3. - Sin[(14 n + 3) Pi/22] + Sin[3 (14 n + 3) Pi/22] -  Sin[(18 n + 7) Pi/22] + Sin[(34 n + 1) Pi/22] + Sin[(38 n + 5) Pi/22])/11, {n, 0, 22}] // FullSimplify
复制代码
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王守恩
 楼主| 发表于 2024-11-18 17:07:53 | 显示全部楼层
矩阵特征多项式的出现没有找到规律。

数码和是37(90/37=2.43243243...)倍数的n位数。庞大的方程(38个=)就不显示了！

{x^38 - 38x^37 + 703x^36 - 8436x^35 + 73815x^34 - 505605x^33 + 2766786x^32  - 12269718x^31 + 45131268x^30 - 141996306x^29 + 394924828x^28
- 998811226x^27 + 2336498496x^26 - 5067496653x^25 + 10096017654x^24 - 18222613146x^23 + 29427079908x^22 - 42156803220x^21 + 53340665200x^20
- 59543743098x^19 + 58728747798x^18 - 51377411012x^17 + 40112519217x^16 - 28178192712x^15 + 17965995391x^14 - 10462465062x^13 + 5565989217x^12
- 2682338236x^11 + 1151539419x^10 - 430583985x^9 + 136670933x^8 - 35808711x^7 + 7509261x^6 - 1219372x^5 + 150072x^4 - 14652x^3 + 1332x^2 - 121x + 10},
  1. LinearRecurrence[{38, -703, 8436, -73815, 505605, -2766786, 12269718, -45131268, 141996306, -394924828 , 998811226, -2336498496, 5067496653, -10096017654, 18222613146, -29427079908,
  2. 42156803220, -53340665200, 59543743098, -58728747798,  51377411012, -40112519217, 28178192712, -17965995391, 10462465062, -5565989217, 2682338236, -1151539419, 430583985, -136670933,
  3. 35808711, -7509261, 1219372, -150072, 14652, -1332, 121, -10}, {0, 0, 0, 0, 495, 21087, 381723, 4379055, 37351050, 259374995, 1653501806, 13048390511, 158903196662,2239291048139,
  4. 28507785272627,311821366378658, 2979627311374646, 25944869574276674, 221134220847650709, 2022908595156341888, 20820683768985425752, 230548359791505501334, 2544756190911454736212,
  5. 26754690217116339514123, 265502948859518368360799, 2526506420603700796366395, 23782667410908819841903609, 228949643396870922687643202, 2292183328696391495589625914,
  6. 23651720507472264482319879267, 245635521005162956364317796789, 2515708080095173551538053498687, 25201229281143759728637114839865, 247926170046230884343949953513351,
  7. 2423578028252762512699632250040106, 23844241308197519752109783182264398, 237801055208458779845139040408941091, 2400491106257829908959870229657180624}, 78]
复制代码
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王守恩
 楼主| 发表于 2024-11-20 19:08:48 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2024-11-7 17:07
{1285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285693640709593633830156727072166831 ...

这“条码”还是很实用的。谢谢 northwolves ！

问题1。有很多“0”的条码，这些“0”可有缩写的方法？

NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1},71], #] &,
                                                 {0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, 100][[All, 1]]

问题2。只要是这样的条码，肯定有特征多项式(虽然不好找)？

问题3。怎样的数字串，可以有这样的条码，譬如：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,
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王守恩
 楼主| 发表于 2024-11-23 07:18:58 | 显示全部楼层
(一), n位数, 各位数字之和等于n。

这样的1位数有1个。
这样的2位数有2个。
这样的3位数有6个。
这样的4位数有20个。
这样的5位数有70个。

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48619, 184735, 705222, 2702609, 10390940, 40062132, 154830696, 599641425, 2326640877, 9042327525, 35194002709, ——A071976——没有规律。

A071976给出了前1100项！佩服！不知道是怎么出来的，用我们的算式连第10项也出不来。
  1. Table[Length@Select[Range[10^(a - 1), 10^a - 1], Total@IntegerDigits@# == a &], {a, 9}]
复制代码

(二), n位数, 各位数字之和等于n的倍数。

这样的1位数有9个。
这样的2位数有45个。
这样的3位数有300个。
这样的4位数有2249个。
这样的5位数有18000个。

9, 45, 300, 2249, 18000, 149991, 1285774, 11249985, 100000000, 900000000, 8181818181, 74999999501, 692307584595, 6428564424863, 59999717638617, 562491672466081, 5293918597046695,

OEIS没有这串数。我是用下面的算式一项一项一项拉出来的。可有好一点的方法？谢谢！
  1. NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 20], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 20][[All, 1]]
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王守恩
 楼主| 发表于 2024-11-25 11:53:07 | 显示全部楼层
n位数, 各位数字之和等于n的倍数。

这样的1位数有9个。
这样的2位数有45个。
这样的3位数有300个。
这样的4位数有2249个。
这样的5位数有18000个。

9, 45, 300, 2249, 18000, 149991, 1285774, 11249985, 100000000, 900000000, 8181818181, 74999999501, 692307584595, 6428564424863, 59999717638617, 562491672466081, 5293918597046695,

Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {10}, 0], #] &, {9}, 0][[All, 1]]]——9.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {5, 5}, 1], #] &, {4, 5}, 1][[All, 1]]]——45.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {4, 3, 3}, 2], #] &, {3, 3, 3},2][[All, 1]]]——300.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {3, 2, 2, 3}, 3], #] &, {2, 3, 2, 2}, 3][[All, 1]]]——2249.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {2, 2, 2, 2, 2}, 4], #] &, {1, 2, 2, 2, 2}, 4][[All, 1]]]——18000.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {2, 1, 1, 2, 2, 2}, 5], #] &, {1, 2, 2, 2, 1, 1}, 5][[All, 1]]]——149991.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {2, 1, 1, 1, 1, 2, 2}, 6], #] &, {1, 2, 2, 1, 1, 1, 1}, 6][[All, 1]]]——1285774.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2}, 7], #] &, {1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 7][[All, 1]]]——11249985.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 8], #] &, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 8][[All, 1]]]——100000000.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 9], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 9][[All, 1]]]—— 900000000.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 10], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0}, 10][[All, 1]]]——8181818181.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 11], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0}, 11][[All, 1]]]——74999999501.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 12], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0}, 12][[All, 1]]]——692307584595.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 13], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0}, 13][[All, 1]]]——6428564424863.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 14], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0}, 14][[All, 1]]]——59999717638617
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 15], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 15][[All, 1]]]——562491672466081.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 16], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 16][[All, 1]]]——5293918597046695.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 17], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 17][[All, 1]]]——49995907208582972.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 18], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 18][[All, 1]]]——473609016175792282.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 19], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 19][[All, 1]]]——4498733541313295104.
Max[NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, 20], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 20][[All, 1]]]——42837232212522918635.

各位大侠！上面的条码可有简化的可能？ 谢谢！当然可以用下面的条码,可惜就是连第10项也出不来。
  1. Table[Length[Select[Range[10^(a - 1), 10^a - 1], Mod[Total@IntegerDigits@#, a] == 0 &]], {a, 9}]
复制代码

9, 45, 300, 2249, 18000, 149991, 1285774, 11249985, 100000000,
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northwolves
发表于 2024-11-25 16:28:11 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-11-25 11:53
n位数, 各位数字之和等于n的倍数。

这样的1位数有9个。
  1. Table[Max[
  2.   NestList[Dot[
  3.       NestList[RotateRight, IntegerDigits[2^k + 2^9 - 1, 2, k + 1],
  4.        k], #] &, IntegerDigits[2^k - 2^(k - 9), 2, k + 1], k][[All,
  5.     1]]], {k, 9, 30}]
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{900000000,8181818181,74999999501,692307584595,6428564424863,59999717638617,562491672466081,5293918597046695,49995907208582972,473609016175792282,4498733541313295104,42837232212522918635,408794838045095140277,3908837936775126273473,37442500308713197788969,359238774813254052475625,3451733981871081223676244,33210004769845318870361800,319908753084273214311674685,3085051810541178940946326518,29780804272800238762381211289,287746988849623049435570362721}

点评

王守恩
这么复杂的问题，到你那里就这么简单了？！！！  发表于 2024-11-25 18:32

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王守恩 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12

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王守恩
 楼主| 发表于 2024-11-25 18:44:51 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2024-11-25 16:28
{900000000,8181818181,74999999501,692307584595,6428564424863,59999717638617,562491672466081,5293 ...

还是提问题。这样的10,11,12,13,...位数答案不踏实(1——9没问题)。
n位数, 各位数字之和等于n的倍数。

这样的1位数有9个。
这样的2位数有45个。
这样的3位数有300个。
这样的4位数有2249个。
这样的5位数有18000个。
这样的6位数有149991个。
这样的7位数有1285774个。
这样的8位数有11249985个。
这样的9位数有100000000个。
这样的10位数有900000000个?
这样的11位数有8181818181个?
这样的12位数有74999999501个?
这样的13位数有692307584595个?
这样的14位数有6428564424863个?
这样的15位数有59999717638617个?

9, 45, 300, 2249, 18000, 149991, 1285774, 11249985, 100000000, 900000000, 8181818181, 74999999501, 692307584595, 6428564424863, 59999717638617,
  1. Length[Select[Range[10^9, 10^10 - 1], Mod[Total@IntegerDigits@#, 10] == 0 &]]
复制代码

我用上面的条码,10位数(900000000)就验算不了。

这样的10,11,12,13,...位数答案不踏实(1——9没问题)。也是因为
n位数, 各位数字之和等于n。

这样的1位数有1个。
这样的2位数有2个。
这样的3位数有6个。
这样的4位数有20个。
这样的5位数有70个。

答案是A71976：1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48619, 184735, 705222, 2702609, 10390940, 40062132, 154830696, 599641425, 2326640877, 9042327525, 35194002709, ——没有规律——A071976给出了前1100项！佩服！
而不是A00984：1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440,
从10,11,12,13,...位数开始,答案就不一样了。
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