数码和是7倍数的n位数

王守恩

数码和是7倍数的n位数。

这样的1位数有1个。

这样的2位数有12个。

这样的3位数有126个。

这样的4位数有1282个。
......
{{1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176}

我只能来这8个数。求助各位大侠！谢谢！

mathe

\(\begin{bmatrix}1&2&2&1&1&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&2&2&1&1&1&1\\1&2&2&2&1&1&1\\1&1&2&2&2&1&1\\1&1&1&2&2&2&1\\1&1&1&1&2&2&2\\2&1&1&1&1&2&2\\2&2&1&1&1&1&2\end{bmatrix}^{n-1} \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\)

王守恩

电脑出来(1)(因为第9个数怎么也出不来)。手工猜想(2)(大概率是错的)。就是想找个通项公式。
(1)——{1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176}

1. Table[Length@Select[Range[10^(a - 1), 10^a - 1], Mod[Total@IntegerDigits@#, 7] == 0 &], {a, 8}]

复制代码

(2)——1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176, 128571220, 12857141804, 128571429416, 1285714293398, 12857142874408, 128571428581010, 1285714285653962, 12857142856925458, 128571428571124002,

northwolves

a (n, 0) =
2 a (n - 1, 0) + 2 a (n - 1, 1) + 2 a (n - 1, 2) + a (n - 1, 3) +
  a (n - 1, 4) + a (n - 1, 5) + a (n - 1, 6)

数论爱好者

王守恩 发表于 2024-11-7 05:10
电脑出来(1)(因为第9个数怎么也出不来)。手工猜想(2)(大概率是错的)。就是想找个通项公式。
(1)——{1, 12, ...

如果只是快速逼近，高位数正确，最后几个低位数不准确的，可以参考下图快速求出。验证了几个数，没有规律可言，oeis网站也搜不到你的数列

王守恩

“数数”这类题说难也难——少1个不行——多1个也是错的。

(1)——{1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176}。求助：这8个数有错的吗？(2)有对的吗？谢谢！

(2)——1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176, 128571220, 12857141804, 128571429416, 1285714293398,

mathe

mathe 发表于 2024-11-6 13:25
\(\begin{bmatrix}1&2&2&1&1&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&2&2&1&1&1&1\\1&2&2&2&1&1&1\\1&1&2&2&2&1 ...

这个矩阵特征多项式为\(x^7 - 14*x^6 + 49*x^5 - 98*x^4 + 84*x^3 - 42*x^2 + 21*x - 10\)
对应通向公式约等于:
\(1.285714285714285714285714286*10^{n-1}+(-0.03963986657766937081587106221 - 0.04970682047863881260466802769*i)*(0.7225209339563144042889025645 - 0.3479477433504716882326761938*i)^{n-1}+(-0.03963986657766937081587106221+ 0.04970682047863881260466802769*i)*(0.7225209339563144042889025645 + 0.3479477433504716882326761938*i)^{n-1} +( -0.1604985431226762186464292692 - 0.07729202472346649807748047859*i)*( -0.1234898018587335305250048840 - 0.5410441730642654865423633502*i)^{n-1}+( -0.1604985431226762186464292692 + 0.07729202472346649807748047859*i)*( -0.1234898018587335305250048840 + 0.5410441730642654865423633502*i)^{n-1}+( 0.05728126684320273231944318850 - 0.2509656278071219165323680300*i)*(1.400968867902419126236102320 - 1.756759394649853415726576210*i)^{n-1}+( 0.05728126684320273231944318850 + 0.2509656278071219165323680300*i)*(1.400968867902419126236102320 + 1.756759394649853415726576210*i)^{n-1}\)

northwolves

1. x = NestList[RotateRight, {2, 1, 1, 1, 1, 2, 2}, 6]; y = {1, 2, 2, 1,
   
2.   1, 1, 1}; q = NestList[Dot[x, #] &, y, 19]

复制代码

{{1, 2, 2, 1, 1, 1, 1}, {12, 13, 14, 14, 13, 12, 12}, {126, 127, 129,
  131, 131, 129, 127}, {1282, 1280, 1282, 1287, 1291, 1291,
  1287}, {12860, 12849, 12844, 12849, 12860, 12869, 12869}, {128598,
  128578, 128553, 128542, 128553, 128578, 128598}, {1285774, 1285774,
  1285729, 1285673, 1285648, 1285673, 1285729}, {12857176, 12857277,
  12857277, 12857176, 12857050, 12856994, 12857050}, {128571220,
  128571503, 128571730, 128571730, 128571503, 128571220,
  128571094}, {1285713534, 1285713817, 1285714453, 1285714963,
  1285714963, 1285714453, 1285713817}, {12857141804, 12857141168,
  12857141804, 12857143233, 12857144379, 12857144379,
  12857143233}, {128571429416, 128571426205, 128571424776,
  128571426205, 128571429416, 128571431991,
  128571431991}, {1285714293398, 1285714287612, 1285714280397,
  1285714277186, 1285714280397, 1285714287612,
  1285714293398}, {12857142874408, 12857142874408, 12857142861407,
  12857142845195, 12857142837980, 12857142845195,
  12857142861407}, {128571428581010, 128571428610223, 128571428610223,
   128571428581010, 128571428544582, 128571428528370,
  128571428544582}, {1285714285653962, 1285714285735815,
  1285714285801456, 1285714285801456, 1285714285735815,
  1285714285653962, 1285714285617534}, {12857142856925458,
  12857142857007311, 12857142857191233, 12857142857338727,
  12857142857338727, 12857142857191233,
  12857142857007311}, {128571428571124002, 128571428570940080,
  128571428571124002, 128571428571537271, 128571428571868687,
  128571428571868687, 128571428571537271}, {1285714285714529960,
  1285714285713601353, 1285714285713188084, 1285714285713601353,
  1285714285714529960, 1285714285715274645,
  1285714285715274645}, {12857142857145079250, 12857142857143405958,
  12857142857141319397, 12857142857140390790, 12857142857141319397,
  12857142857143405958, 12857142857145079250}}

northwolves

1. f[n_] :=Nest[Dot[NestList[RotateRight, {2, 1, 1, 1, 1, 2, 2}, 6], #] &, {1, 2, 2, 1, 1, 1, 1}, n - 1]; f[100]

复制代码

{1285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285693640709593633830156727072166831122,1285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285721653831152933076089773946113255671,1285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285744118610429023213362607363249942576,1285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285744118610429023213362607363249942576,1285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285721653831152933076089773946113255671,1285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285693640709593633830156727072166831122,1285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285681173697648819760781783236939941262}

王守恩

northwolves 发表于 2024-11-7 17:03
{{1, 2, 2, 1, 1, 1, 1}, {12, 13, 14, 14, 13, 12, 12}, {126, 127, 129,
  131, 131, 129, 127}, {128 ...

单独把这串数拉出来, 你好像有方法！

{1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176, 128571220, 12857141804, 128571429416, 1285714293398, 12857142874408, 128571428581010, 1285714285653962,
12857142856925458, 128571428571124002, 1285714285714529960, 12857142857145079250, 128571428571433564458, 1285714285714288485208, 12857142857142839697416,
128571428571428508557374, 1285714285714285626205124, 12857142857142857213492292, 128571428571428572071198338, 1285714285714285715729683844, 12857142857142857143658485506,
128571428571428571423526257838, 1285714285714285714267532118658, 12857142857142857142831670207146, 128571428571428571428591856050692}