数码和是7倍数的n位数

数论爱好者

王守恩 发表于 2024-11-7 19:07
单独把这串数拉出来, 你好像有方法！

{1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176, 128571220, ...

利用oeis数列网站的资料来计算一下2位，3位和10位的情况。数码和是7的倍数能被7整除
两位数：10-99共计90组数据，共计有18种和，我只看7的倍数对应和的种类相加
数列前一列代表和，后一列代表个数
A289642
Number of 2-digit numbers whose digits add up to n.
# A289642 (b-file synthesized from sequence entry)
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 9
11 8
12 7
13 6
14 5
15 4
16 3
17 2
18 1
和为7的有7组，和为14的5组，7+5=12符合你的要求。
三位数，引用资料：A071817  Number of 3-digit numbers whose digits add up to n.
# A071817 (b-file synthesized from sequence entry)
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
7 28
8 36
9 45
10 54
11 61
12 66
13 69
14 70
15 69
16 66
17 61
18 54
19 45
20 36
21 28
22 21
23 15
24 10
25 6
26 3
27 1
和为7的28组，14的70组，21的28组，28+70+28=126符合
10位马上算

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2024-11-7 22:19
利用oeis数列网站的资料来计算一下2位，3位和10位的情况。数码和是7的倍数能被7整除
两位数：10-99共计90 ...

10位的引用资料A289410
Irregular triangular array T(m,k) with m (row) >= 1 and k (column) >= 1 read by rows: number of m-digit numbers whose digit sum is k.
1        1
2        10
3        55
4        220
5        715
6        2002
7        5005
8        11440
9        24310
10        48619
11        92359
12        167815
13        293215
14        494725
15        808753
16        1284481
17        1986490
18        2997280
19        4419415
20        6376951
21        9015769
22        12502435
23        17021245
24        22769185
25        29948644
26        38757862
27        49379275
28        61966135
29        76628035
30        93416221
31        112309741
32        133203565
33        155899810
34        180103120
35        205421083
36        231370315
37        257388505
38        282852295
39        307100365
40        329460589
41        349279750
42        365954050
43        378958525
44        387873475
45        392406145
46        392406145
47        387873475
48        378958525
49        365954050
50        349279750
51        329460589
52        307100365
53        282852295
54        257388505
55        231370315
56        205421083
57        180103120
58        155899810
59        133203565
60        112309741
61        93416221
62        76628035
63        61966135
64        49379275
65        38757862
66        29948644
67        22769185
68        17021245
69        12502435
70        9015769
71        6376951
72        4419415
73        2997280
74        1986490
75        1284481
76        808753
77        494725
78        293215
79        167815
80        92359
81        48619
82        24310
83        11440
84        5005
85        2002
86        715
87        220
88        55
89        10
90        1
统计如下
7的5005组
14的494725组
21的9015769组
28的61966135组
35的205421083组
42的365954050组
49的365954050组
56的205421083组
63的61966135组
70的9015769组
77的494725组
84的5005组
求得组数个数：1285713534

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2024-11-7 22:32
10位的引用资料A289410
Irregular triangular array T(m,k) with m (row) >= 1 and k (column) >= 1 read ...

可以扩展研究数码和被任意数整除的情形。只是统计相加比较麻烦，100位的数码和可以轻松求出来

王守恩

主帖=a(n)={1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176, 128571220, 1285713534,  12857141804, 128571429416, 1285714293398, 12857142874408, 128571428581010, 1285714285653962,

b(n)={1, 3, 9, 20, 46, 103, 232, 521, 1171, 2631, 5912, 13284, 29849, 67070, 150705, 338631, 760897, 1709720, 3841706, 8632235, 19396456, 43583441, 97931103, 220049191, 494446044, 1111010176,

a(n)与b(n)有关。循环节=7。

a(0)=1,
a(1)=12,
a(2)=126=(9*10^2 - 9*2)/7=(9*10^2 - b(3)*2)/7,
a(3)=1282=(9*10^3 - (9*3 - 1))/7=(9*10^3 - (b(3)*3-b(1)))/7,
a(4)=12860=(9*10^4 + 20)/7=(9*10^4 + b(4))/7,
a(5)=128598=(9*10^5 + 103*2 - 20)/7=(9*10^5 + b(6)*2 - b(4))/7,
a(6)=1285774=(9*10^6 + 232*2 - 46)/7=(9*10^6 + b(7)*2 - b(5))/7,
a(7)=12857176=(9*10^7 + 232)/7=(9*10^7 + b(7))/7,
a(8)=128571220=(9*10^8 - (521*3 - 103))/7=(9*10^8 - (b(8)*3 - b(6)))/7,
a(9)=1285713534=(9*10^9 - 2631*2)/7=(9*10^9 - b(10)*2)/7,
a(10)=12857141804=(9*10^10 - (2631*3 - 521))/7=(9*10^10 - (b(10)*3-b(8)))/7,
a(11)=128571429416=(9*10^11 + 5912)/7=(9*10^11 + b(11))/7,
a(12)=1285714293398=(9*10^12 + 29849*2 - 5912)/7=(9*10^12 + b(13)*2 - b(11))/7,
a(13)=12857142874408=(9*10^13 + 67070*2 - 13284)/7=(9*10^13 + b(14)*2 - b(12))/7,
a(14)=128571428581010=(9*10^14 + 67070)/7=(9*10^14 + b(14))/7,
a(15)=1285714285653962=(9*10^15 - (150705*3 - 29849))/7=(9*10^15 - (b(15)*3 - b(13)))/7,
a(16)=12857142856925458=(9*10^16 - 760897*2)/7=(9*10^16 - b(17)*2)/7,
a(17)=128571428571124002=(9*10^17 - (760897*3 - 150705))/7=(9*10^17 - (b(17)*3-b(15)))/7,
a(18)=(9*10^18 + b(18))/7,
a(19)=(9*10^19 + b(20)*2 - b(18))/7,
a(20)=(9*10^20 + b(21)*2 - b(19))/7,
a(21)=(9*10^21 + b(21))/7,
a(22)=(9*10^22 - (b(22)*3 - b(20)))/7,
a(23)=(9*10^23 - b(24)*2)/7,
a(24)=(9*10^24 - (b(24)*3 - b(22)))/7,
......
a(7k - 3)=(9*10^(7k - 3) + b(7k - 3))/7,
a(7k - 2)=(9*10^(7k - 2) + b(7k - 1)*2 - b(7k - 3))/7,
a(7k - 1)=(9*10^(7k - 1) + b(7k+0)*2 - b(7k - 2))/7,
a(7k+0)=(9*10^(7k+0) + b(7k+0))/7,
a(7k+1)=(9*10^(7k+1) - (b(7k+1)*3 - b(7k -1)))/7,
a(7k+2)=(9*10^(7k+2) - b(7k+3)*2)/7,
a(7k+3)=(9*10^(7k+3) - (b(7k+3)*3 - b(7k+1)))/7,
或。
b(n)={-1, 3, -9, 20, 46, -103, 232, -521, 1171, -2631, 5912, 13284, -29849, 67070, -150705, 338631, -760897, 1709720, 3841706, -8632235, 19396456, -43583441, 97931103, -220049191, 494446044, 1111010176,
a(7k - 3)=(9*10^(7k - 3) + b(7k - 3))/7,
a(7k - 2)=(9*10^(7k - 2) + b(7k - 1)*2 - b(7k - 3))/7,
a(7k - 1)=(9*10^(7k - 1) + b(7k+0)*2 - b(7k - 2))/7,
a(7k+0)=(9*10^(7k+0) + b(7k+0))/7,
a(7k+1)=(9*10^(7k+1) + b(7k+1)*3 - b(7k -1))/7,
a(7k+2)=(9*10^(7k+2) + b(7k+3)*2)/7,
a(7k+3)=(9*10^(7k+3) + b(7k+3)*3 - b(7k+1))/7,

数论爱好者

王守恩 发表于 2024-11-8 06:24
主帖=a(n)={1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176, 128571220, 1285713534,  12857141804,  ...

公式太多了，记不住，并且什么时候该加上，什么时候该减去，就如素数分布中黎曼猜想搞不定二分之一处的正负号
下面有一篇文章：https://baike.baidu.com/item/%E4%BD%8D%E6%95%B0%E7%A0%81%E5%92%8C/10362706?fr=ge_ala
我是根本看不懂，既然他说跟黎曼有关，我把它代入有几个数码计算值多于实际值，能够显著提高精度。至于计算值少于实际值的并未验证，因为我不知道什么时候该加上。
修正值采用：对n位数开平方，然后除以这个数的自然对数的平方值。修正值有点像哥德巴赫猜想猜想分布的组数，有点扯远了
上面百度那篇文章说是离散数学，组合数学，不是初等数学，不可能用一个简单的公式来计算，就如Li（x）的积分没有初等函数，就不要再研究了。电脑可以精确计算，就不要再整什么公式了

王守恩

数论爱好者 发表于 2024-11-8 14:37
公式太多了，记不住，并且什么时候该加上，什么时候该减去，就如素数分布中黎曼猜想搞不定二分之一处的正 ...

谢谢 mathe！谢谢 northwolves！
{1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176, 128571220, 1285713534, 12857141804, 128571429416, 1285714293398, 12857142874408, 128571428581010, 1285714285653962, 12857142856925458,
128571428571124002, 1285714285714529960, 12857142857145079250, 128571428571433564458, 1285714285714288485208, 12857142857142839697416, 128571428571428508557374, 1285714285714285626205124}

1. NestList[Dot[NestList[RotateRight, {2, 1, 1, 1, 1, 2, 2}, 6], #] &, {1, 2, 2, 1, 1, 1, 1}, 24][[All, 1]]

复制代码

王守恩

northwolves 发表于 2024-11-7 07:44
a (n, 0) =
2 a (n - 1, 0) + 2 a (n - 1, 1) + 2 a (n - 1, 2) + a (n - 1, 3) +
  a (n - 1, 4) + a ( ...

14楼先丢一丢。若把“7”改成“17”,  应该怎样编排？谢谢！

1. NestList[Dot[NestList[RotateRight, {2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 1},16], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 24][[All, 1]]

复制代码

王守恩

mathe 发表于 2024-11-7 13:41
这个矩阵特征多项式为\(x^7 - 14*x^6 + 49*x^5 - 98*x^4 + 84*x^3 - 42*x^2 + 21*x - 10\)
对应通向公式 ...

谢谢 mathe！
{1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774, 12857176, 128571220, 1285713534, 12857141804, 128571429416, 1285714293398, 12857142874408, 128571428581010, 1285714285653962, 12857142856925458,
128571428571124002, 1285714285714529960, 12857142857145079250, 128571428571433564458, 1285714285714288485208, 12857142857142839697416, 128571428571428508557374, 1285714285714285626205124,
12857142857142857213492292, 128571428571428572071198338, 1285714285714285715729683844, 12857142857142857143658485506, 128571428571428571423526257838, 1285714285714285714267532118658,
12857142857142857142831670207146, 128571428571428571428591856050692, 1285714285714285714285900131543534, 12857142857142857142857560448930614, 128571428571428571428571660317387080,

1. LinearRecurrence[{14, -49, 98, -84, 42, -21, 10}, {1, 12, 126, 1282, 12860, 128598, 1285774}, 50]

复制代码

王守恩

mathe 发表于 2024-11-6 13:25
\(\begin{bmatrix}1&2&2&1&1&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&2&2&1&1&1&1\\1&2&2&2&1&1&1\\1&1&2&2&2&1 ...

谢谢 mathe！谢谢 northwolves！若把“7”改成“17”,  是这一串数(心里没底)？请验收。

数码和是17倍数的n位数。
这样的1位数有0个。
这样的2位数有2个。
这样的3位数有61个。
这样的4位数有607个。
......
{0, 2, 61, 607, 5005, 51090, 539103, 5335482, 52635691, 528573446, 5303297495, 52955278635, 529146620809, 5293987371496, 52948567080626, 529408195240026, 5293918597046695, 52941466543240964,
529416938352592774, 5294104701791816408, 52941047220453934755, 529412244246481861288, 5294120725218290316903, 52941160358150259337640, 529411695930056774548299,  ......}

1. NestList[Dot[NestList[RotateRight, {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},16], #] &, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 26][[All, 1]]

复制代码

王守恩

mathe 发表于 2024-11-7 13:41
这个矩阵特征多项式为\(x^7 - 14*x^6 + 49*x^5 - 98*x^4 + 84*x^3 - 42*x^2 + 21*x - 10\)
对应通向公式 ...

这个矩阵特征多项式为{x^17 - 17x^16 + 119x^15 - 748x^14 + 3434x^13 - 10455x^12 + 22389x^11 - 36873x^10 + 49997x^9 - 56423x^8 + 50813x^7 - 34442x^6 + 16660x^5 - 5525x^4 + 1275x^3 - 255x^2 + 51x - 10},

1. LinearRecurrence[{17, -119, 748, -3434, 10455, -22389, 36873, -49997, 56423, -50813, 34442, -16660, 5525, -1275, 255, -51, 10},
   
2. {0, 2, 61,607, 5005, 51090, 539103, 5335482, 52635691, 528573446, 5303297495,52955278635, 529146620809, 5293987371496, 52948567080626, 529408195240026, 5293918597046695}, 50]

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{0, 2, 61, 607, 5005, 51090, 539103, 5335482, 52635691, 528573446, 5303297495, 52955278635, 529146620809, 5293987371496, 52948567080626, 529408195240026, 5293918597046695, 52941466543240964,
529416938352592774, 5294104701791816408, 52941047220453934755, 529412244246481861288, 5294120725218290316903, 52941160358150259337640, 529411695930056774548299, 5294118154962925622416450,
52941177864393231370711872, 529411749443298593739622148, 5294117623612305022388829985, 52941176911421210927205039035, 529411764922480822169740868648, 5294117634771063323145399443720,
52941176476522892929110613779259, 529411765036826456389474587798980, 5294117646576543558752082156591691, 52941176461986437917039832514107049, 529411764727405384956857644347924194,