关于本问题的总结 1
关于本问题的总结2
关于本问题的总结3
关于本问题的总结4
下面我上传自己编的给三角形ABC（a=11,b=9,c=7）求等圆半径和各类线段长度的 Mathematica程序，主要用到了迭代和递归思想。还绘制了绝对精确的 CAD作图供大家验证任意线段的长度、角度、点的坐标等情况。不知什么原因想发附件上传，但被限制。等以后我被允许传附件的时候再传。
本帖最后由 creasson 于 2025-2-1 22:15 编辑
根据37#结论，可以找到一组有理解
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{2n}}}}{{1 - {t^{2n}}}} - \frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
c \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{2n}}}}{{1 - {t^{2n}}}} +\frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
r \to |\frac{{\left( {1 - {k^2}} \right){t^n}\left( {1 - {t^2}} \right)}}{{2\left( {1 + {k^2}} \right)\left( {1 - {t^{2n}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]
由此可以给出 40# 的示例. 例如 n=2时，给出
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{4}}}}{{1 - {t^{4}}}} - \frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
c \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{4}}}}{{1 - {t^{4}}}} + \frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
r \to |\frac{{\left( {1 - {k^2}} \right){t^2}\left( {1 - {t^2}} \right)}}{{2\left( {1 + {k^2}} \right)\left( {1 - {t^{4}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]
因其关于t是偶次的，可再作代换 $t \to \sqrt{t}$ 使之简化，成为
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{2}}}}{{1 - {t^{2}}}} - \frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
c \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{2}}}}{{1 - {t^{2}}}} +\frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
r \to |\frac{{\left( {1 - {k^2}} \right){t}\left( {1 - {t}} \right)}}{{2\left( {1 + {k^2}} \right)\left( {1 - {t^{2}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]
再令$ (k,t) $ 取$ (\frac{1}{3},\frac{1}{2}),( - \frac{1}{3},\frac{2}{3}),( - \frac{1}{2},\frac{1}{2}),( - \frac{1}{3}, - \frac{1}{6}),( - \frac{1}{5},\frac{1}{2}) $ 即得
你们的结论如何证明？
本帖最后由 creasson 于 2025-2-1 23:55 编辑
47# 有过度参数化的问题，更正为:
若 $n = 2 m$ , 有
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 + {t^{2m}}}}{{1 - {t^{2m}}}} - \frac{{1 - {k^2}}}{{1 + {k^2}}}} \right)\\
c \to \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 + {t^{2m}}}}{{1 - {t^{2m}}}} + \frac{{1 - {k^2}}}{{1 + {k^2}}}} \right)\\
r \to |\frac{{k{t^m}\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {1 + {k^2}} \right)\left( {1 - {t^{2m}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]
若 $n=2m + 1$, 有
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 + {t^{2m + 1}}}}{{1 - {t^{2m + 1}}}} - \frac{{1 - {k^2} t}}{{1 + {k^2}t}}} \right)\\
c \to \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 + {t^{2m + 1}}}}{{1 - {t^{2m + 1}}}} + \frac{{1 - {k^2} t}}{{1 + {k^2}t}}} \right)\\
r \to |\frac{{k{t^{m + 1}}\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {1 + {k^2}t} \right)\left( {1 - {t^{2m + 1}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]
Clear["Gloable*`"];
(* 三角形边长及半径r关于n的有理表示, 切分的线段设为a=1 *)
expression := Module[{m = Floor},
If == 0, {a -> 1,
b -> 1/2 (-((1 - k^2)/(1 + k^2)) + (1 + t^(2 m))/(1 - t^(2 m))),
c -> 1/2 ((1 - k^2)/(1 + k^2) + (1 + t^(2 m))/(1 - t^(2 m))),
r -> Abs[(k (1 - t) t^m)/((1 + k^2) (1 - t^(2 m)))]},
{a -> 1,
b -> 1/2 (-((1 - k^2 t)/(1 + k^2 t)) + (1 + t^(1 + 2 m))/(
1 - t^(1 + 2 m))),
c -> 1/2 ((1 - k^2 t)/(1 + k^2 t) + (1 + t^(1 + 2 m))/(
1 - t^(1 + 2 m))),
r -> Abs[(
k (1 - t) t^(1 + m))/((1 + k^2 t) (1 - t^(1 + 2 m)))]}]];
GetMinList := Module[{},
(* 生成分母不超过10的有理分数 *)
titems =
Select@ Tuples, 2]), 0 < # < 1 &];
kitems =
Flatten[{Union@(#1/#2 & @@@ Tuples, 2]),
Union@(-(#1/#2) & @@@ Tuples, 2]), 0}];
sets = Tuples, 2];
values =
Union@(expression[
n] /. (AssociationThread[{k, t} -> #] & /@ sets));
(* 筛选 a>0, b>0, c>0, r>0 且1-2r/h > 0 的 *)
values =
Select[values,
And[( Min@(Values@#)) >
0, ((1 - (4 a r)/Sqrt[
4 a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2]) /. #) > 0 ] &];
values =
AssociationThread[
Keys[#] , (PolynomialLCM @@ (Denominator@
Values@#))*(Values@#)] & /@ values;
(* 按a排序 *)
sorted = SortBy;
Print["n=", n, "\n", Take];
];
GetMinList[#] & /@ Range
给出的结果似乎包含一些增解。