几何超难题求解

iseemu2009

关于本问题的总结 1

iseemu2009

关于本问题的总结2

iseemu2009

关于本问题的总结3

iseemu2009

关于本问题的总结4

iseemu2009

iseemu2009

下面我上传自己编的给三角形ABC（a=11,b=9,c=7）求等圆半径和各类线段长度的 Mathematica程序，主要用到了迭代和递归思想。还绘制了绝对精确的 CAD  作图供大家验证任意线段的长度、角度、点的坐标等情况。不知什么原因想发附件上传，但被限制。等以后我被允许传附件的时候再传。

creasson

根据37#结论，可以找到一组有理解

\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{2n}}}}{{1 - {t^{2n}}}} - \frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
c \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{2n}}}}{{1 - {t^{2n}}}} +\frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
r \to |\frac{{\left( {1 - {k^2}} \right){t^n}\left( {1 - {t^2}} \right)}}{{2\left( {1 + {k^2}} \right)\left( {1 - {t^{2n}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]

由此可以给出 40# 的示例. 例如 n=2时，给出
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{4}}}}{{1 - {t^{4}}}} - \frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
c \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{4}}}}{{1 - {t^{4}}}} + \frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
r \to |\frac{{\left( {1 - {k^2}} \right){t^2}\left( {1 - {t^2}} \right)}}{{2\left( {1 + {k^2}} \right)\left( {1 - {t^{4}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]
因其关于t是偶次的，可再作代换 $t \to \sqrt{t}$ 使之简化，成为
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{2}}}}{{1 - {t^{2}}}} - \frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
c \to \frac{1}{2}\frac{{1 + {t^{2}}}}{{1 - {t^{2}}}} +\frac{k}{{1 + {k^2}}}\\
r \to |\frac{{\left( {1 - {k^2}} \right){t}\left( {1 - {t}} \right)}}{{2\left( {1 + {k^2}} \right)\left( {1 - {t^{2}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]
再令$ (k,t) $ 取$ (\frac{1}{3},\frac{1}{2}),( - \frac{1}{3},  \frac{2}{3}),( - \frac{1}{2},\frac{1}{2}),( - \frac{1}{3}, - \frac{1}{6}),( - \frac{1}{5},\frac{1}{2}) $ 即得

nyy

你们的结论如何证明？

creasson

47# 有过度参数化的问题，更正为:
若 $n = 2 m$ , 有
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 + {t^{2m}}}}{{1 - {t^{2m}}}} - \frac{{1 - {k^2}}}{{1 + {k^2}}}} \right)\\
c \to \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 + {t^{2m}}}}{{1 - {t^{2m}}}} + \frac{{1 - {k^2}}}{{1 + {k^2}}}} \right)\\
r \to |\frac{{k{t^m}\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {1 + {k^2}} \right)\left( {1 - {t^{2m}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]

若 $n=2m + 1$, 有
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \to 1\\
b \to \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 + {t^{2m + 1}}}}{{1 - {t^{2m + 1}}}} - \frac{{1 - {k^2} t}}{{1 + {k^2}t}}} \right)\\
c \to \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 + {t^{2m + 1}}}}{{1 - {t^{2m + 1}}}} + \frac{{1 - {k^2} t}}{{1 + {k^2}t}}} \right)\\
r \to |\frac{{k{t^{m + 1}}\left( {1 - t} \right)}}{{\left( {1 + {k^2}t} \right)\left( {1 - {t^{2m + 1}}} \right)}}|
\end{array} \right.\]

creasson

1. Clear["Gloable*`"];
   
2. (* 三角形边长及半径r关于n的有理表示, 切分的线段设为a=1 *)
   
3. expression[n_] := Module[{m = Floor[n/2]},
   
4.    If[Mod[n, 2] == 0, {a -> 1,
   
5.      b -> 1/2 (-((1 - k^2)/(1 + k^2)) + (1 + t^(2 m))/(1 - t^(2 m))),
   
6.      c -> 1/2 ((1 - k^2)/(1 + k^2) + (1 + t^(2 m))/(1 - t^(2 m))),
   
7.      r -> Abs[(k (1 - t) t^m)/((1 + k^2) (1 - t^(2 m)))]},
   
8.     {a -> 1,
   
9.      b -> 1/2 (-((1 - k^2 t)/(1 + k^2 t)) + (1 + t^(1 + 2 m))/(
   
10.          1 - t^(1 + 2 m))),
    
11.      c -> 1/2 ((1 - k^2 t)/(1 + k^2 t) + (1 + t^(1 + 2 m))/(
    
12.          1 - t^(1 + 2 m))),
    
13.      r -> Abs[(
    
14.        k (1 - t) t^(1 + m))/((1 + k^2 t) (1 - t^(1 + 2 m)))]}]];
    
15. GetMinList[n_] := Module[{},
    
16.    (* 生成分母不超过10的有理分数 *)
    
17.    titems =
    
18.     Select[Union@(#1/#2 & @@[url=home.php?mod=space&uid=6175]@[/url] Tuples[Range[1, 10], 2]), 0 < # < 1 &];
    
19.    kitems =
    
20.     Flatten[{Union@(#1/#2 & @@@ Tuples[Range[1, 10], 2]),
    
21.       Union@(-(#1/#2) & @@@ Tuples[Range[1, 10], 2]), 0}];
    
22.    sets = Tuples[Flatten[{kitems, -titems}], 2];
    
23.    values =
    
24.     Union@(expression[
    
25.         n] /. (AssociationThread[{k, t} -> #] & /@ sets));
    
26.    (* 筛选 a>0, b>0, c>0, r>0 且1-2r/h > 0 的 *)
    
27.    values =
    
28.     Select[values,
    
29.      And[( Min@(Values@#)) >
    
30.         0, ((1 - (4 a r)/Sqrt[
    
31.             4 a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2]) /. #) > 0 ] &];
    
32.    values =
    
33.     AssociationThread[
    
34.        Keys[#] , (PolynomialLCM @@ (Denominator@
    
35.             Values@#))*(Values@#)] & /@ values;
    
36.    (* 按a排序 *)
    
37.    sorted = SortBy[values, (a /. #) &];
    
38.    Print["n=", n, "\n", Take[sorted, 100]];
    
39.    ];
    
40. GetMinList[#] & /@ Range[2, 10]

复制代码

给出的结果似乎包含一些增解。